[논문 리뷰] Gompertz and Verhulst frameworks for growth and decay description

Marcel Ausloos|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 25.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 11인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 인구 및 기타 시스템에서의 성장과 감쇠 역학을 동시에 기술할 수 있도록 베르후르스트 및 고프르츠 모델을 확장하는 통합된 일阶 미분방정식 프레임워크를 제안한다. 시간 또는 크기에 따라 변하는 성장률과 수용 능력을 도입함으로써, 극값과 다중 변곡점을 포함한 부드럽고 현실적인 동역학을 모델링할 수 있으며, 기존 모델이 단일 점 渐近선 향한 단조적 성장 또는 감쇠를 가정하는 데서 비롯하는 한계를 극복한다.

ABSTRACT

Verhulst logistic curve either grows OR decays, depending on the {\it growth rate} parameter value. A similar situation is found in the Gompertz law about human mortality. However, growth can neither be infinite nor reach a finite steady state at an infinite asymptotic time. Moreover before some decay, some growth must have occurred. For example, some levelling-off could occur at finite time, followed either by some growth again or then by some decay. Numerous examples show that the Verhulst and Gompertz modelisations are too reductive (or restrictive) descriptions of their original purpose. It is aimed, in the present note, to encompass into ONE simple differential equation the growth AND decay features of, e.g., population sizes, or numbers, but also of many other measured characteristics found in social and physical science systems. Previous generalisations of Verhulst or Gompertz functions are recalled. It is shown that drastic growth or decay jumps or turnovers can be readily described through drastic changes in values of the growth or decay rate. However smoother descriptions can be found if the growth or decay rate is modified in order to take into account some time or size dependence. Similar arguments can be carried through, but not so easily, for the so called carrying capacity, indeed leading to more elaborate algebraic work.

연구 동기 및 목표

• Verhulst 및 Gompertz 모델이 단일 점 점 渐近선 향한 단조적 성장 또는 감쇠를 가정하여 극값이나 역전 현상을 기술할 수 없고, 현실적인 시나리오를 반영하지 못하는 한계를 해결하기 위함.
• 인구 및 물리적 시스템의 성장 및 감쇠 단계를 모두 모델링할 수 있는 단일이고 단순한 일계 미분방정식을 개발하기 위함.
• 시간 또는 크기에 따라 변하는 성장률과 수용 능력을 통합하여, 정체 후 재성장 또는 재감쇠와 같은 부드러운 전환을 가능하게 하기 위함.
• 기존 모델을 변수 계수를 통해 현실적이고 물리적으로 타당한 역학을 통합함으로써, 비합리적인 매개변수 조정이 아닌 일반화를 도모하기 위함.
• 이전의 다수 방정식 또는 이산 시간 접근 방식보다 더 보편적이고 해석적으로 다룰 수 있는 프레임워크를 제공하기 위함.

제안 방법

• 일반화된 리카티 형식의 일계 미분방정식을 수립: $ \frac{dx}{dt} = r(t) \, x(t) \, \log\left[ \frac{k(x(t))}{x(t)} \right] $, 여기서 $ r(t) $ 및 $ k(x(t)) $ 는 시간 또는 크기에 따라 변하는 계수이다.
• 성장률 $ r $ 과 수용 능력 $ M $ 에 시간 의존성 수정을 도입하여 내부 또는 외부 영향에 대한 동적 반응을 가능하게 한다.
• Verhulst 및 Gompertz 형태 모두에 이 프레임워크를 적용하여, 단순한 시간 의존 성분의 분해(예: $ \pm \frac{e^t - 1}{e^t + 1} + 1 $)조차도 전체 성장/감쇠 경향에 볼록 또는 오목한 부분을 유도할 수 있음을 보여준다.
• 해석적 형태로 $ k(x) $ 와 $ M(N) $ 을 사용하지만, $ M $ 의 완전한 해석적 처리가 대수적으로 복잡하여 일반적으로 수치적 방법이 필요하다고 지적한다.
• 변수 계수를 통해 다중 변곡점과 극값을 가능하게 하는 일반화된 성장 방정식을 유도하여, 이차 도함수나 조각별 함수를 사용할 필요 없이 모델링한다.
• 결과를 알려진 모델들(예: Bass 및 Zwanzig 모델)과 비교하여, 프레임워크가 물리적으로 타당한 방식으로 극값을 재현할 수 있음을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일계 미분방정식 하나로 인구, 언어, 기술 등 다양한 시스템에서의 성장 및 감쇠 역학을 기술할 수 있는가?
• RQ2 Verhulst 및 Gompertz 모델을 어떻게 일반화하여 이차 도함수를 사용하지 않고도 극값과 다중 변곡점을 기술할 수 있는가?
• RQ3 시간 또는 크기에 따라 변하는 성장률과 수용 능력 도입이 해의 곡선 형태와 현실성에 미치는 영향는 어떠한가?
• RQ4 기존 시그모이드 성장과 동일한 프레임워크 내에서 정체 후 재성장 또는 재감쇠와 같은 매끄럽고 비단조적 행동을 포괄할 수 있는가?
• RQ5 Gompertz 또는 Verhulst 방정식에 변수 계수를 사용할 경우, 급격하거나 점진적인 전이를 보이는 실제 세계 현상 모델링에 미치는 영향는 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 프레임워크는 성장률 $ r $ 와 수용 능력 $ M $ 이 시간 또는 크기에 따라 변할 수 있도록 허용함으로써, 단일 일계 미분방정식 내에서 성장과 감쇠 역학을 성공적으로 통합한다.
• 단순한 시간 의존성 수정(예: 원래 Verhulst 또는 Gompertz 형태에 시그모이드 인자 곱하기)조차도 해상에서 눈에 띄는 볼록 또는 오목 부분을 유도하여 극값 또는 역전 현상을 나타낸다.
• 모델은 극값을 유도하는 데 성장률의 부호를 바꾸는 것이 아니라, 성장률이나 수용 능력을 시간 또는 크기의 함수로 만들면 더 매끄럽고 현실적인 전환을 가능하게 한다는 점을 보여준다.
• 시간 의존성 계수의 사용은 기존 로지스틱 및 Gompertz 모델에서 발생하는 논리적 모순(예: 거의 동시에 발생하는 원인과 결과)을 피할 수 있도록 한다.
• 수용 능력 $ M(N) $ 의 해석적 형태는 복잡하고 다루기 어렵지만, 수치적 분석 결과 이러한 의존성이 역학에 상당한 영향을 미치며 더 rich한 행동을 가능하게 함을 보여준다.
• Bass 및 Zwanzig 모델과 같은 기존 모델을 변수 계수를 통해 극값을 자연스럽게 통합함으로써 일반화하였으며, 비합리적인 매개변수 조정이 아닌 방법을 사용하였다.