[논문 리뷰] Good binary quantum codes with transversal CCZ gate

Kate Nguyen|arXiv (Cornell University)|2024. 08. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고정 크기의 큐디트 알파벳 위에서 정의된 대수기하 코드를 활용하고, 곱셈 우호적인 임bedding을 통해 큽드를 큼으로 감소시켜, 점점 좋은 이진 양자 CSS 코드 가족을 제안한다. 이는 전이성 CCZ 게이트를 갖추며, 일정한 비율과 선형 거리로, 일정한 오버헤드를 가진 마법의 상태 분리(distillation)를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We give an asymptotically good family of quantum CSS codes on qubits with a transversal CCZ gate, meaning that the parallel logical CCZ on all logical qubits is performed by parallel physical CCZs on (a subset of) physical qubits. The construction is based on the observation that any classical code satisfying a multiplication property can be used to construct a quantum CSS code with transversal (qudit) CCZ. To obtain a constant-rate and linear-distance family, we then instantiate this construction with a classical good family of algebraic-geometry codes on a non-binary, but constant-sized, alphabet. Finally, we use a technique from the arithmetic secret sharing literature to reduce the alphabet to binary. As a corollary, the constructed code family provides a magic state distillation scheme with constant space overhead.

연구 동기 및 목표

• 전이성 비클리포드 게이트, 특히 CCZ 게이트를 지원하는 일정한 비율, 선형 거리의 이진 양자 코드 가족을 구축하기.
• 이전의 구성 방식에서 비율이 점점 줄어들거나 큽드 차원이 증가하는 문제를 해결하기.
• 고전적 대수기하 코드의 곱셈 성질을 적응시켜 CCZ와 같은 다중 큐비트 위상 게이트의 전이성 실행을 가능하게 하기.
• 고알파벳 큽드 코드를 이진 코드로 감소시키면서도 전이성과 점점 좋은 코드 품질을 유지하기 위해 산술 비밀공유 기법을 적용하기.
• 구성된 코드 가족의 직접적 응용으로 일정한 공간 오버헤드를 가진 마법의 상태 분리 구현하기.

제안 방법

• 고정된 크기의 알파벳(2의 거듭제곱) 위에서 정의된 고전적 대수기하(AG) 코드를 사용하며, 이는 성분별 곱셈이 관련된 코드에 속한다는 성질을 만족한다.
• 삼중직교성 프레임워크를 사용하여 AG 코드에서 큽드 CSS 코드를 구성하고, 곱셈 성질을 통해 (쿱드) CCZ 게이트의 전이성 실행을 보장한다.
• 산술 비밀공유에서 유래한 곱셈 우호적인 임베딩을 적용하여 큽드 코드를 전이성과 코드 파rameter를 유지한 채로 이진 양자 코드로 매핑한다.
• 트레이스 기반 동형사상과 체 곱셈 사상의 행렬 표현을 활용하여 큽드 연산을 전이성 CCZ 게이트를 갖는 이진 클리포드 회로로 임베딩한다.
• 결과로 얻은 이진 코드를 작은 이진 코드(예: $[[r,m,1]]$)와 연결하여, 인코딩된 큽드에서 물리적 CCZ 게이트의 전이성 구현을 통해 논리적 CCZ 게이트를 실현한다.
• 논리적 CCZ 게이트가 $ Rubio $ 위의 다중선형 함수에 의해 결정되는 위상 전환을 하는 조건부 위상 연산으로 작용함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전이성 CCZ 게이트를 갖는 일정한 비율, 선형 거리의 이진 양자 코드 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ2 고전적 AG 코드의 곱셈 성질을 활용하여 CCZ와 같은 다중 큽드 위상 게이트의 전이성 실행을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ3 고알파벳 큽드 코드를 이진 코드로 감소시키면서도 전이성과 점점 좋은 코드 품질을 유지할 수 있는가?
• RQ4 이러한 코드 가족은 일정한 오버헤드를 가진 마법의 상태 분리를 가능하게 하는가?
• RQ5 산술 비밀공유 기법을 어떻게 활용하여 큽드 연산을 이진 양자 회로로 임베딩할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 전이성 CCZ 게이트를 갖는 점점 좋은 이진 양자 CSS 코드 가족을 구성하였으며, 이는 첫 번째로 일정한 비율과 선형 거리를 갖는 가족이다.
• 구성은 고정 크기의 알파벳(2의 거듭제곱) 위에서 정의된 고전적 AG 코드에 기반하며, 곱셈 성질과 쌍대 닫힘 성질을 만족한다.
• 전이성 CCZ 게이트는 큽드 연산을 이진 큽드에서 전이성 물리적 CCZ 게이트로 매핑하는 곱셈 우호적인 임베딩을 통해 연결된 구성으로 실현된다.
• 논리적 CCZ 연산은 세 개의 논리적 상태 곱에 의해 제어되는 위상 전환으로 실현되며, 위상은 $ Rubio $ 위의 다중선형 함수에 의해 결정된다.
• 결과로 얻은 코드 가족은 전이성 CCZ 게이트 덕분에 효율적인 분리 프로토콜을 가능하게 하여 일정한 공간 오버헤드를 가진 마법의 상태 분리를 가능하게 한다.
• 이 구성은 이전의 큽드 코드에서 전이성 비클리포드 게이트를 갖는 연구를 일반화하고, 이진 큽드로의 전이성과 점점 좋은 최적성까지 확장한다.