[논문 리뷰] Good measures on locally compact Cantor sets

Olena Karpel|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 30.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비콤팩트이고 국소 콤팩트인 칸토어 집합 위의 전체 비원자적 보렐 측도를 '좋은' 측도와 콤팩트 열린 값 집합 $ S(\mu) $의 개념을 도입하여 위상동형에 대해 분류한다. 이는 비콤팩트 경우로의 확장된 결과를 포함하여, 콤팩트 칸토어 집합의 결과를 일반화한다. 비콤팩트 국소 콤팩트 칸토어 집합 위에서 좋은 측도의 위상동형류에 대한 완전한 불변량을 확립하고, 주어진 값 집합과 결함 집합을 갖는 예시를 구성한다.

ABSTRACT

We study the set M(X) of full non-atomic Borel (finite or infinite) measures on a non-compact locally compact Cantor set X. For an infinite measure $μ$ in M(X), the set $\mathfrak{M}_μ= \{x \in X : {for any compact open set} U i x {we have} μ(U) = \infty \}$ is called defective. We call $μ$ non-defective if $μ(\mathfrak{M}_μ) = 0$. The class $M^0(X) \subset M(X)$ consists of probability measures and infinite non-defective measures. We classify measures $μ$ from $M^0(X)$ with respect to a homeomorphism. The notions of goodness and compact open values set $S(μ)$ are defined. A criterion when two good measures from $M^0(X)$ are homeomorphic is given. For any group-like $D \subset [0,1)$ we find a good probability measure $μ$ on X such that $S(μ) = D$. For any group-like $D \subset [0,\infty)$ and any locally compact, zero-dimensional, metric space A we find a good non-defective measure $μ$ on X such that $S(μ) = D$ and $\mathfrak{M}_μ$ is homeomorphic to A. We consider compactifications cX of X and give a criterion when a good measure $μ\in M^0(X)$ can be extended to a good measure on cX.

연구 동기 및 목표

• 콤팩트에서 비콤파크트 국소 콤팩트 칸토어 집합으로 좋은 측도의 분류를 확장하기 위해.
• 비결함이 있는 무한 측도를 정의하고, 핵심 불변량으로서 결함 집합 $ \mathfrak{M}_{\mu} $를 도입하기 위해.
• 비콤팩트 국소 콤팩트 칸토어 집합 위에서 좋은 측도의 위상동형류에 대한 완전한 불변량을 확립하기 위해.
• 주어진 콤팩트 열린 값 집합 $ S(\mu) $를 갖는 측도를 구성하기 위해, 특히 $[0,1)$ 및 $[0,\infty)$의 임의의 군 유사 부분집합을 포함하여.
• 특히 칸토어 공간의 콤팩트화에 대해 좋은 측도의 행동을 조사하기 위해.

제안 방법

• 측도 $ \mu \in M(X) $를 $ \mu(\mathfrak{M}_{\mu}) = 0 $를 만족할 때 비결함이 있다고 정의한다. 여기서 $ \mathfrak{M}_{\mu} $는 각각의 콤팩트 열린 이웃이 무한한 $ \mu $-측도를 갖는 점들의 집합이다.
• 콤팩트 열린 부분집합의 모든 유한한 $ \mu $-측도의 집합으로서 콤팩트 열린 값 집합 $ S(\mu) $를 도입한다.
• 모든 닫힌 열린 집합 $ U, V $에 대해 $ \mu(U) < \mu(V) $이면, $ \mu(W) = \mu(U) $를 만족하는 닫힌 열린 집합 $ W \subset V $가 존재하는 측도를 '좋은' 측도로 정의한다.
• 가산 기저인 콤팩트 열린 집합의 구조를 이용하여, $[0,1)$ 및 $[0,\infty)$의 군 유사 부분집합을 활용해 주어진 $ S(\mu) $를 갖는 측도를 구성한다.
• $ (C,F) $-구성법과 $ p $-진 측도를 이용해, 주어진 임의의 0차원, 국소 콤팩트, 거리 공간 $ A $에 대해 위상동형인 임의의 좋은 $ S(\mu) $ 및 $ \mathfrak{M}_{\mu} $를 갖는 예시를 구성한다.
• 공간의 콤팩트화 $ cX $를 분석하며, $ cX $가 칸토어 집합이 되는 경우에 국한하고, $ X $ 위의 좋은 측도가 $ cX $ 위의 좋은 측도로 확장되는 조건을 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트 국소 콤팩트 칸토어 집합 위의 두 좋은 측도가 언제 위상동형인가?
• RQ2 좋은 측도가 공간의 콤팩트화로 확장될 수 있는 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 주어진 군 유사 부분집합 $ D \subset [0,1) $에 대해, $ S(\mu) = D $인 좋은 확률 측도 $ \mu $가 존재하는가?
• RQ4 주어진 군 유사 부분집합 $ D \subset [0,\infty) $과 임의의 0차원, 국소 콤팩트, 거리 공간 $ A $에 대해, $ S(\mu) = D $이고 $ \mathfrak{M}_{\mu} \cong A $인 좋은 비결함 측도 $ \mu $가 존재하는가?
• RQ5 콤팩트화에 따라 콤팩트 열린 값 집합 $ S(\mu) $는 어떻게 변화하며, 좋은 성질은 언제 유지되는가?

주요 결과

• 비콤파크트 국소 콤팩트 칸토어 집합 위의 두 좋은 측도는 그들의 콤팩트 열린 값 집합 $ S(\mu) $가 동일할 때이고 그때에만 위상동형이다.
• 모든 군 유사 부분집합 $ D \subset [0,1) $에 대해, $ S(\mu) = D $인 좋은 확률 측도 $ \mu $가 $ X $ 위에 존재한다.
• 모든 군 유사 부분집합 $ D \subset [0,\infty) $과 모든 국소 콤팩트, 0차원, 거리 공간 $ A $에 대해, $ S(\mu) = D $이고 $ \mathfrak{M}_{\mu} $가 $ A $와 위상동형이 되는 좋은 비결함 측도 $ \mu $가 $ X $ 위에 존재한다.
• $ p $-진 수체 $ \mathbb{Q}_p $ 위의 하르 측도는 $ S(\mu) = \{ np^\gamma \mid n \in \mathbb{N}, \gamma \in \mathbb{Z} \} $를 갖는 좋은 측도이다.
• $ (C,F) $-구성법에 의한 비콤팩트 국소 콤팩트 칸토어 집합 위의 불변 측도는 좋은 측도이며, $ S(\mu) = \{ \frac{a}{|C_1|\cdots|C_n|} \mid a,n \in \mathbb{N} \} \cap [0, \mu(X)) $를 만족한다.
• 정적 브라텔리 다이어그램의 경로 공간의 생성 열린 밀집 부분집합 위에 좋은 에르고딕 불변 측도가 존재하며, 이 경우 모든 콤팩트화 결과는 비좋은 측도가 된다.