[논문 리뷰] Good reduction and cyclic covers

Ariyan Javanpeykar, Daniel Loughran외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 03.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 85인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 순환 피복과 모듈리 스택을 이용하여 유한성 결과를 유도함으로써, 유한한 곳을 제외한 곳에서 잘린 환원을 갖는 다양체에 대해 유한성 결과를 확립한다. 분지 딜레르의 쌍 위에서의 차수-r 순환 피복의 스택이 기저 스택의 유한한 에탈 커버 위에서 에탈이면서 올바른다는 것을 증명함으로써, 저자들은 가중 투영 표면, 아벨 다양체의 이중 피복, 고차원에서의 초표면 등에 대해 새로운 사례의 샤파레비치 추측을 도출한다. 이는 스택 버전의 셰바레비치-웨일 정리에 기반한다.

ABSTRACT

We prove finiteness results for sets of varieties over number fields with good reduction outside a given finite set of places using cyclic covers. We obtain a version of the Shafarevich conjecture for weighted projective surfaces, double covers of abelian varieties, and reduce the Shafarevich conjecture for hypersurfaces to the case of hypersurfaces of high dimension. These are special cases of a general set-up for integral points on moduli stacks of cyclic covers, and our arithmetic results are achieved via a version of the Chevalley-Weil theorem for stacks.

연구 동기 및 목표

• 곡선을 초월하여 샤파레비치 추측을 새로운 다양체의 계열로 확장하기.
• 비대수적으로 닫힌 체 위에서 초표면에 대한 순환 피복을 연결하는 데 발생하는 모호함을 모듈리 스택 프레임워크에서 다루어 해결하기.
• 순환 피복의 스택에서 기저 스택의 분지 딜레르로 가는 사상이 올바르고 에탈임을 증명하여, 스택 위의 정수점에 의한 유한성 확보하기.
• 가중 투영 표면과 아벨 다양체의 이중 피복에 대해 샤파레비치 추측의 새로운 사례를 확립하기.
• 일반적인 초표면에 대한 샤파레비치 추측을 기하학적으로 단순한 경우인 파노 초표면(r ≤ n)로 감소시키기.

제안 방법

• 유한성 결과를 균일하게 얻기 위해 양호한 환원을 갖는 다양체를 순환 피복의 모듈리 스택을 이용해 매개변수화하며, 초표면 방정식에서 발생하는 스칼라의 모호함을 피하기.
• 차수-r 순환 피복의 스택에서 분지 딜레르를 갖는 기저 다양체의 스택으로 가는 자연스러운 사상이 올바르고 에탈임을 증명하여, 셰바레비치-웨일 정리를 스택으로 일반화하기.
• 스택 버전의 셰바레비치-웨일 정리를 적용하여 모듈리 스택 위의 정수점의 유한성을 도출하고, 이는 양호한 환원을 갖는 다양체의 동형류의 유한성을 이끌어내기.
• 페르마의 방법에 기반한 내림내림 기법을 사용하여 순환 피복을 그 분지 위치와 연결하며, 특히 초표면과 아벨 다양체의 경우에 중점을 두기.
• 좋은 환원을 모델링하기 위해 S-정수환 위에서 작업하고, 전개 및 모델 환원을 사용하여 수체 위의 유한성 정리 적용하기.
• 이중 피복의 명시적 모듈리 스택을 구성하고, 이들이 산술적으로 하이퍼볼릭임을 보여 이는 동형류의 유한성을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초표면에 대한 샤파레비치 추측은 파노 초표면(r ≤ n)의 경우로 감소시킬 수 있는가?
• RQ2 고정된 r과 유한한 S에 대해, 정수환 위에서 P(1,1,1,r)에 있는 차수 2r의 매끄러운 가중 투영 표면은 유한한 S-정수점만 갖는가?
• RQ3 기하학적 종수와 차원이 주어진 아벨 다양체의 이중 피복의 모듈리 스택 G_{g,p}는 산술적으로 하이퍼볼릭인가?
• RQ4 분지 딜레르 쌍 위에서의 차수-r 순환 피복의 스택은 기저 스택의 분지 딜레르로 가는 올바르고 에탈 사상이 존재하는가?
• RQ5 순환 피복 스택 위의 정수점의 유한성은 샤파레비치 추측의 새로운 사례를 증명하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 수체 위에서 P^{n+1}에 있는 차수 r의 매끄러운 초표면에 대한 샤파레비치 추측은, 차수 n에서 성립한다면 모든 차수 m ≤ n에서 성립함을 보여, 고차원의 경우로의 감소를 가능하게 한다.
• 정수환 A가 2 ∈ A×를 만족하고, 정수적으로 닫혀 있을 때, P(1,1,1,r)에 있는 차수 2r의 매끄러운 표면의 모듈리 스택은 A-동형류가 유한히 존재하며, 이는 샤파레비치 추측의 새로운 사례를 증명한다.
• g = 2 또는 g ≥ 4일 때, 기하학적 종수가 p인 아벨 다양체의 이중 피복의 모듈리 스택 G_{g,p}는 산술적으로 하이퍼볼릭이며, 이는 S-정수환 위에서의 동형류의 유한성을 암시한다.
• 분지 딜레르 쌍 위에서의 차수-r 순환 피복의 스택은 기저 스택의 분지 딜레르의 유한한 에탈 커버 위에서 올바르고 에탈이며, 이는 핵심적인 기하학적 결과이다.
• 이중 피복의 스택은 아벨 스킴 위의 토르서스 위에서의 차수-2 순환 피복의 스택과 동치이며, 이 동치관계는 파라미터화된 아벨 다양체의 모듈리 스택 위에서 올바르고 에탈이다.
• 스택 G_{g,p}에서 파라미터화된 아벨 다양체의 모듈리 스택으로 가는 사상은 올바르고 에탈이며, 이는 전개 및 정수점의 추론을 통해 유한성을 확보하는 데 기여한다.