[논문 리뷰] Goodness of fit of logistic models for random graphs

Pierre Latouche, Stéphane Robin외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 02.

Complex Network Analysis Techniques참고 문헌 43인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 이진 네트워크에서 로지스틱 회귀 모델의 베이지안 적합도 프레임워크를 제안하며, 변분 베이즈 추론을 통해 융통성 있는 잔차 그래프론 항목을 통합한다. 이 방법은 공변량이 네트워크 구조를 완전히 설명하는지 평가하기 위해 잔차 그래프론이 일정한지의 사후 확률을 추정한다. 실제 응용 사례에서는 공변량으로 설명되지 않은 구조를 탐지함으로써 효과를 입증한다.

ABSTRACT

Logistic regression is a natural and simple tool to understand how covariates contribute to explain the topology of a binary network. Once the model fitted, the practitioner is interested in the goodness-of-fit of the regression in order to check if the covariates are sufficient to explain the whole topology of the network and, if they are not, to analyze the residual structure. To address this problem, we introduce a generic model that combines logistic regression with a network-oriented residual term. This residual term takes the form of the graphon function of a W-graph. Using a variational Bayes framework, we infer the residual graphon by averaging over a series of blockwise constant functions. This approach allows us to define a generic goodness-of-fit criterion, which corresponds to the posterior probability for the residual graphon to be constant. Experiments on toy data are carried out to assess the accuracy of the procedure. Several networks from social sciences and ecology are studied to illustrate the proposed methodology.

연구 동기 및 목표

• 이진 네트워크 분석에서 로지스틱 회귀 모델에 대한 공식적인 적합도 평가 부족 문제를 해결하기 위해.
• 관측된 공변량으로 설명되지 않는 잔차 네트워크 구조를 탐지하기 위해.
• 네트워크 구조의 설명되지 않은 이질성에 대한 시각적 및 정량적 측도를 제공하기 위해.
• 로지스틱 회귀와 W-그래프를 조합한 하이브리드 모델을 위한 확장 가능한 베이지안 추론 절차를 개발하기 위해.
• 실무자들이 공변량이 네트워크 형성에 충분한지 평가할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 잔차 네트워크 구조를 포착하기 위해 로지스틱 회귀와 W-그래프 잔차 항목을 조합한 하이브리드 모델을 제안한다.
• 블록 단위로 일정한 그래프론 함수에 대한 사후 분포를 근사하기 위해 변분 베이즈 기반 EM (VBEM) 프레임워크를 사용한다.
• 잔차 그래프론이 일정한지의 사후 확률(즉, 잔차 구조가 없음)을 적합도 기준으로 추정한다.
• 두 단계의 변분 근사 적용: 첫 번째는 잠재 블록 구조에 대한 근사, 두 번째는 국소 우도에 대한 테일러 전개를 사용한 근사.
• W-그래프의 유한한 근사로 스 tochastic block model (SBM)을 사용하며, 블록 수를 증가시켜 잔차 복잡도를 탐색한다.
• 공변량을 고려한 후 잔차 네트워크 패턴을 시각화하기 위해 추정된 그래프론 함수 $ g ullet ilde{ heta} $ 를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 로지스틱 회귀 모델의 공변량이 이진 네트워크의 구조를 완전히 설명하는지 공식적으로 검증할 수 있는가?
• RQ2 관측된 공변량에 조건을 두었을 때 남아 있는 잔차 네트워크 구조는 무엇인가?
• RQ3 잔차 네트워크 구조가 null(즉, 일정한 그래프론)임의 사후 확률을 어떻게 정량화할 수 있는가?
• RQ4 융통성 있는 비모수적 잔차 모델을 사용하여 실제 네트워크에서 설명되지 않은 이질성을 시각화하고 해석할 수 있는가?
• RQ5 공변량의 포함 여부가 잔차 네트워크 구조 탐지 가능성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 블로그 네트워크의 경우, $ ilde{p}(H_0|Y) $ 는 거의 0에 가까웠다(예: 3.60e-172), 이는 잔차 그래프론이 일정하다는 근본 가설에 대한 강력한 반박 증거를 의미한다.
• 카라테 네트워크의 경우, $ ilde{p}(H_0|Y) = 3.38 imes 10^{-2} $ 로 나타나 공변량만으로는 네트워크 구조를 충분히 설명하지 못함을 시사한다.
• 플로렌티나의 결혼 및 사업 네트워크에서는 각각 $ ilde{p}(H_0|Y) = 0.995 $ 와 $ 0.991 $ 이었으며, 이는 공변량이 네트워크 구조를 완전히 설명함을 의미한다.
• 파우 딕슨 하이스쿨 및 CKM 네트워크의 경우, $ ilde{p}(H_0|Y) = 1 $ 이었고, 이는 공변량 외에 잔차 구조가 존재하지 않음을 확인한다.
• $ g ullet ilde{ heta} $ 의 시각화 결과, 공변량을 추가함으로써 잔차 그래프론이 단순화되었고(예: 대각선 산기의 감소), 그러나 블로그, 나무, AddHealth 네트워크에서는 여전히 비일정한 패턴이 존재함을 보였다.
• 이 방법론은 공변량으로 충분히 설명되지 않는 생태학적 및 사회적 네트워크에서 잔차 구조를 성공적으로 탐지하였으며, 특히 곰팡이 기생체 상호작용을 포함한 나무 네트워크에서 그러한 결과를 얻었다.