[논문 리뷰] Goodness-of-fit testing based on a weighted bootstrap: A fast large-sample alternative to the parametric bootstrap

Ivan Kojadinovic, Jun Yan|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 25.

Forecasting Techniques and Applications참고 문헌 30인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 계산 비용이 높은 파라메트릭 부트스트랩을 대체할 수 있는 빠른 대표표본 대안을 제안한다. 이는 추정된 모형에서의 재표본 추출을 피하는 가중치 부트스트랩(멀티플라이어 부트스트랩)을 사용하며, 특히 고차원 또는 많은 파라미터를 가진 경우에 큰 계산적 이점을 제공한다. 성능은 몬테카를로 시뮬레이션과 삼변량 금융 데이터에 대한 응용을 통해 검증되었으며, 유사한 검정력(power)을 달성한다.

ABSTRACT

The process comparing the empirical cumulative distribution function of the sample with a parametric estimate of the cumulative distribution function is known as the empirical process with estimated parameters and has been extensively employed in the literature for goodness-of-fit testing. The simplest way to carry out such goodness-of-fit tests, especially in a multivariate setting, is to use a parametric bootstrap. Although very easy to implement, the parametric bootstrap can become very computationally expensive as the sample size, the number of parameters, or the dimension of the data increase. An alternative resampling technique based on a fast weighted bootstrap is proposed in this paper, and is studied both theoretically and empirically. The outcome of this work is a generic and computationally efficient multiplier goodness-of-fit procedure that can be used as a large-sample alternative to the parametric bootstrap. In order to approximately determine how large the sample size needs to be for the parametric and weighted bootstraps to have roughly equivalent powers, extensive Monte Carlo experiments are carried out in dimension one, two and three, and for models containing up to nine parameters. The computational gains resulting from the use of the proposed multiplier goodness-of-fit procedure are illustrated on trivariate financial data. A by-product of this work is a fast large-sample goodness-of-fit procedure for the bivariate and trivariate t distribution whose degrees of freedom are fixed.

연구 동기 및 목표

• 표본 크기, 파라미터 수, 차원이 증가할수록 다변량 적합도 검정에서 파라메트릭 부트스트랩의 높은 계산 비용을 해결하기 위해.
• 파라메트릭 부트스트랩의 계산 비용을 줄이고 대용량 표본에서 효과적으로 작동하는 대안을 개발하기 위해.
• 다양한 표본 크기, 차원(1~3), 최대 9개의 파라미터를 가진 모델에서 가중치 부트스트랩과 파라메트릭 부트스트랩 간의 검정력이 동일한지 평가하기 위해.
• 고정된 자유도를 가진 다변량 t 분포에 대한 적합도 검정을 위한 빠르고 일반적인 절차를 제공하기 위해.

제안 방법

• 추정된 파라미터를 가진 경험과정의 渐近적 선형화를 바탕으로 한 멀티플라이어 부트스트랩 절차를 제안하며, 모형에서의 재표본 추출을 정규 과정에서의 재표본 추출로 대체한다.
• 멀티플라이어 중심극한정리(Multiplier CLT)를 사용하여 귀무가설 하에서 검정통계량의 분포를 근사함으로써, 파라메트릭 모형에서 반복적인 시뮬레이션을 피한다.
• 위상, 척도, 상관관계 파라미터에 대한 다변량 t 분포의 CDF 및 PDF에 대한 명시적 기울기 표현을 유도하여, 귀무가설 하에서 검정통계량의 효율적 계산을 가능하게 한다.
• 독립 동일분포를 가진 표준 정규 난수를 생성하고 영향 함수( influence function)를 통해 이를 가중치를 부여함으로써, 모형 분포에서의 고비용 시뮬레이션을 피하는 가중치 부트스트랩을 구현한다.
• 얻어진 부트스트랩 복제값을 사용하여 경험적 분위수를 통해 p-값을 계산하며, 계산 복잡도는 모형 시뮬레이션과 무관하다.
• 실제 삼변량 금융 데이터에 적용하여 계산적 이점과 실용적 타당성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표본 크기가 어느 정도 커지면 가중치 부트스트랩이 파라메트릭 부트스트랩과 유사한 검정력을 확보할 수 있는가?
• RQ2 고차원 또는 고파라미터 모형에서 가중치 부트스트랩이 파라메트릭 부트스트랩의 계산 효율적인 대안으로 기능할 수 있는가?
• RQ3 다변량 설정에서 가중치 부트스트랩은 파라메트릭 부트스트랩에 비해 얼마나 높은 계산 효율성을 제공하는가?
• RQ4 고정된 자유도를 가진 다변량 t 분포에서 가중치 부트스트랩은 정확한 크기와 검정력을 유지하는가?
• RQ5 다양한 차원과 파라미터 수에서 가중치 부트스트랩과 파라메트릭 부트스트랩 간의 경험적 I종 오류율과 검정력은 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 표본 크기가 중간 정도로 큰 경우, 가중치 부트스트랩은 파라메트릭 부트스트랩과 유사한 검정력을 확보하며, 1~3차원 및 최대 9개의 파라미터를 가진 모델에서의 시뮬레이션 결과에서 동등성이 관찰되었다.
• 광범위한 몬테카를로 실험 결과, 파라메트릭 부트스트랩이 비용이 너무 높아지거나 불가능해지는 고차원 설정에서도 가중치 부트스트랩은 정확한 경험적 크기와 검정력을 유지함을 보였다.
• 계산 비용을 크게 감소시켰다: 파라메트릭 부트스트랩은 각 부트스트랩 복제를 위해 모형에서 N번의 시뮬레이션을 필요로 하지만, 가중치 부트스트랩은 이 과정을 피하기 위해 독립 동일분포 정규 난수와 영향 함수를 사용한다.
• 삼변량 금융 데이터에 대한 적용에서, 제안된 방법은 파라메트릭 부트스트랩 대비 수 개의 주기수 차이로 계산 시간을 단축시켰으며, 실용적 적용이 가능해졌다.
• 고정된 자유도를 가진 이변량 및 삼변량 t 분포에 대한 대용량 표본 적합도 검정 절차가 부산물로 개발되었으며, CDF 및 PDF의 해석적 기울기를 사용한다.
• 멀티플라이어 중심극한정리에 의해 이론적 근거를 제시하였으며, 가중치 부트스트랩이 추정된 파rameter를 가진 경험과정의 귀무분포를 渐近적으로 재현함을 보였다.