[논문 리뷰] GPU Accelerated Discontinuous Galerkin Methods for Shallow Water Equations

Rajesh Gandham, David Medina외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 07.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 고차 정확도와 강건성을 갖춘 두 차원 얕은 수면 방정식을 해결하기 위해 GPU 가속을 적용한 비연속 갈레르킨 방법을 제시한다. 다중 비율 아담스-바슈포스 스킴을 통한 국소 시간 스텝, 수정된 총 변동량 제한기, 건조/습식 전이를 위한 양성 유지 제한기를 적용하여, GPU에서 작업 그룹당 다수의 요소를 처리하고 메모리 액세스 패턴을 최적화함으로써 최대 5배의 성능 향상을 달성하였으며, OCCA를 통해 OpenCL, CUDA, OpenMP 간의 이식 가능성을 확보하였다.

ABSTRACT

We discuss the development, verification, and performance of a GPU accelerated discontinuous Galerkin method for the solutions of two dimensional nonlinear shallow water equations. The shallow water equations are hyperbolic partial differential equations and are widely used in the simulation of tsunami wave propagations. Our algorithms are tailored to take advantage of the single instruction multiple data (SIMD) architecture of graphic processing units. The time integration is accelerated by local time stepping based on a multi-rate Adams-Bashforth scheme. A total variational bounded limiter is adopted for nonlinear stability of the numerical scheme. This limiter is coupled with a mass and momentum conserving positivity preserving limiter for the special treatment of a dry or partially wet element in the triangulation. Accuracy, robustness and performance are demonstrated with the aid of test cases. We compare the performance of the kernels expressed in a portable threading language OCCA, when cross compiled with OpenCL, CUDA, and OpenMP at runtime.

연구 동기 및 목표

• 얕은 수면 방정식을 사용한 쓰나미 파동 전파 시뮬레이션을 위한 고차 정확도, 안정성, 효율성을 갖춘 수치적 스킴 개발.
• 대규모 수심 변화, 비정규 경계, 습식-건식 동역학 등 비선형 초월 PDE의 도전 과제 해결.
• GPU 하드웨어 아키텍처를 활용하여 최적화된 메모리 액세스와 병렬 처리를 통해 비연속 갈레르킨 이산화의 가속화.
• OCCA 이식 가능한 스레딩 프레임워크를 통해 다양한 GPU 및 CPU 플랫폼 간의 이식 가능한 고성능 계산 지원.
• 건조 또는 부분 습식 요소를 고려한 고도의 제한기 및 양성 유지 스킴을 통한 수치적 강건성 확보.

제안 방법

• 비정규 삼각형 메esh에서 노드 기반 비연속 갈레르킨 방법을 사용하여 얕은 수면 방정식을 이산화함으로써 고차 정확도와 국소 질량 보존 가능.
• 다양한 요소가 서로 다른 시간 스텝으로 진행될 수 있도록 허용함으로써 효율성을 향상시키기 위해 국소 시간 스텝을 적용한 다중 비율 아담스-바슈포스 시간 적분 스킴 사용.
• 해결책의 비물리적 진동을 억제하면서도 고차 정확도를 유지하기 위해 수정된 총 변동량 제한기(TVB)를 적용.
• 건조 또는 부분 습식 요소를 처리하기 위해 질량 및 운동량 보존을 고려한 양성 유지 제한기를 도입하여 물리적 안정성 확보.
• 루프 편집, 메모리 정렬을 위한 팞딩, 공유 메모리 사용, 작업 그룹당 다수의 요소 처리를 통한 GPU 커널 최적화로 메모리 대역폭 극대화 및 지연 숨기기.
• OCCA 이식 가능한 스레딩 언어를 사용하여 커널을 한 번 작성하고 런타임에 OpenCL, CUDA, 또는 OpenMP로 크로스 컴파일함으로써 이질적 아키텍처 간의 이식 가능한 성능 확보.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 OCCA를 사용한 이식 가능한 코드로 GPU 아키텍처에서 얕은 수면 방정식에 대한 고차 비연속 갈레르킨 방법을 효율적으로 가속화할 수 있는가?
• RQ2 다중 비율 아담스-바슈포스 스킴을 통한 국소 시간 스텝이 비정규 메쉬에서 초월 PDE의 계산 효율성 향상에 얼마나 효과적인가?
• RQ3 결합된 TVB 및 양성 유지 제한기가 건조 또는 부분 습식 요소가 존재하는 상황에서 수치적 안정성과 정확도를 유지할 수 있는가?
• RQ4 공유 메모리 사용, 루프 편집, 작업 그룹당 다수의 요소 처리와 같은 GPU 커널 최적화로 얻을 수 있는 성능 향상은 어느 정도인가?
• RQ5 OCCA로 생성된 커널의 성능은 다양한 GPU 및 CPU 플랫폼에서 수작업 최적화된 OpenCL 및 CUDA 커널과 비교해 볼 때 어떻게 되는가?

주요 결과

• 작업 그룹당 다수의 요소를 처리함으로써 GPU 가속 비연속 갈레르킨 솔버가 최대 5배의 성능 향상을 달성하였으며, 성능은 GPU 아키텍처에 크게 의존한다.
• 요소 기반 연산자를 저장하기 위해 공유 메모리를 사용함으로써 성능 향상이 뚜렷하게 향상되었으며, 특히 NVIDIA Tesla C2050에서 뚜렷한 성능 향상을 보였다. 이는 전역 메모리 액세스보다 뚜렷한 성능 향상을 보였다.
• 수정된 TVB 제한기는 해를 억제하면서도 매끄러운 영역에서는 고차 정확도를 유지하는 데 효과적이었다.
• 양성 유지 제한기는 비물리적 진동이나 질량 또는 운동량 손실 없이 건조 및 습식 전이를 성공적으로 처리하였다.
• OCCA로 생성된 커널은 NVIDIA Titan GPU에서 수작업 최적화된 OpenCL 및 CUDA 커널과 비교해 유사한 성능을 보였으며, 이는 이식성과 효율성을 검증하였다.
• CPU에서 OCCA + OpenMP는 CPU에서 OCCA + OpenCL보다 성능이 뛰어나, OCCA를 통한 CPU 최적화 커널이 일부 경우에 GPU 코드와 경쟁 가능한 성능을 낼 수 있음을 시사한다.