[논문 리뷰] Gröbner Bases of Bihomogeneous Ideals generated by Polynomials of Bidegree (1,1): Algorithms and Complexity

Jean‐Charles Faugère, Mohab Safey El Din외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 22.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 이중 homogeneous 다항식(이차수 (1,1))으로 생성된 bihomogeneous 아이디얼의 Gröbner 기저를 계산하기 위한 F5 알고리즘의 특수한 변종을 제안한다. 이는 자코비안 행렬의 구조와 최대 미니멀을 활용하여 부과적인 감소를 제거하는 데 중점을 둔다. 일반적인 애핀 이중선형 시스템에 대해 정규성의 최고 상한을 min(nx+1, ny+1)으로 증명함으로써, 기존 F5보다 향상된 복잡도 상한과 실험적 성능 향상을 이룬다.

ABSTRACT

Solving multihomogeneous systems, as a wide range of structured algebraic systems occurring frequently in practical problems, is of first importance. Experimentally, solving these systems with Gröbner bases algorithms seems to be easier than solving homogeneous systems of the same degree. Nevertheless, the reasons of this behaviour are not clear. In this paper, we focus on bilinear systems (i.e. bihomogeneous systems where all equations have bidegree (1,1)). Our goal is to provide a theoretical explanation of the aforementionned experimental behaviour and to propose new techniques to speed up the Gröbner basis computations by using the multihomogeneous structure of those systems. The contributions are theoretical and practical. First, we adapt the classical F5 criterion to avoid reductions to zero which occur when the input is a set of bilinear polynomials. We also prove an explicit form of the Hilbert series of bihomogeneous ideals generated by generic bilinear polynomials and give a new upper bound on the degree of regularity of generic affine bilinear systems. This leads to new complexity bounds for solving bilinear systems. We propose also a variant of the F5 Algorithm dedicated to multihomogeneous systems which exploits a structural property of the Macaulay matrix which occurs on such inputs. Experimental results show that this variant requires less time and memory than the classical homogeneous F5 Algorithm.

연구 동기 및 목표

• 다양한 다항식 시스템, 특히 이중선형 시스템에서 Gröbner 기저 계산의 실험적 효율성을 설명하기 위해.
• F5에서의 부과적인 감소를 줄이기 위해 이중선형 시스템의 다중동차 구조를 활용하는 알고리즘 기법을 개발하기 위해.
• Gröbner 기저를 사용하여 일반적인 애핀 이중선형 시스템을 해결하는 데 있어 명시적인 복잡도 상한을 유도하기 위해.
• 이중선형 다항식으로 생성된 bihomogeneous 아이디얼의 힐버트 급수와 싸지지 모듈 구조를 분석하기 위해.
• 자코비안 행렬의 핵을 분석하여 고전적 F5 기준에서 간과된 감소를 식별함으로써, 이중선형 입력에 대한 F5 기준을 일반화하기 위해.

제안 방법

• x와 y 변수에 대한 자코비안 행렬의 핵을 분석하여, 이중선형 시스템에서 0으로의 감소를 탐지하고 피하는 데 F5 기준을 적응시킨다.
• 고전적 F5 기준이 포착하지 못한 0으로의 감소가 자코비안 행렬의 최대 미니멀과 대응됨을 증명한다.
• 크래머의 법칙과 자코비안 미니멀 행렬의 역행렬을 이용하여 한 집합의 변수를 다른 집합의 변수로 표현함으로써 변수 제거를 가능하게 한다.
• 심지어선형 다항식으로 생성된 bihomogeneous 아이디얼의 힐버트 이급수를 싸지지의 조합론적 분석을 통해 도출한다.
• 이중선형 입력에 특화된 매크올레이 행렬의 구조를 활용하는 다중동차 F5 알고리즘의 변종을 구축한다.
• 최대 미니멀의 주도 단어 이상의 정규성의 상한을 단순화된 단어 정규형과 최대 미니멀의 주도 단어 이상의 이상으로 기반하여, 일반적인 애핀 이중선형 시스템에 대해 min(nx+1, ny+1)으로 상한을 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 동일한 차수의 일반적인 동차 시스템보다 이중선형 시스템에서 Gröbner 기저 계산 시간이 더 빠른가?
• RQ2 어떤 구조적 성질이 고전적 F5 기준에서 간과된 감소를 탐지할 수 있도록 하는가?
• RQ3 일반적인 애핀 이중선형 시스템의 정확한 정규성 차수는 무엇이며, 일반적인 이차 시스템과 비교해보면 어떻게 되는가?
• RQ4 F5 알고리즘은 이중선형 시스템의 다중동차 구조를 체계적으로 활용하도록 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 일반적인 이중선형 다항식으로 생성된 bihomogeneous 아이디얼의 힐버트 급수는 무엇이며, 이는 싸지지의 구조를 어떻게 반영하는가?

주요 결과

• 일반적인 애핀 이중선형 시스템의 정규성 차수는 min(nx+1, ny+1)로 상한이 둔다. 이는 m개 변수를 가진 일반적인 이차 시스템의 m+1 상한보다 훨씬 낮다.
• 일반적인 이중선형 다항식으로 생성된 bihomogeneous 아이디얼의 힐버트 이급수는 싸지지 모듈의 조합론적 분석을 통해 명시적으로 결정된다.
• 제안된 다중동차 F5 변종은 부과적인 감소를 더 잘 다루기 때문에, 이중선형 시스템에서 시간과 메모리 사용량 측면에서 고전적 F5 알고리즘을 능가한다.
• 고전적 F5 기준이 포착하지 못한 0으로의 감소는 x와 y 변수에 대한 자코비안 행렬의 핵에 의해 완전히 특징지어진다.
• 일반적인 이중선형 시스템에서, Gröbner 기저 계산의 복잡도는 O( (n_x + n_y + min(n_x+1, n_y+1) choose min(n_x+1, n_y+1) )^ω )로 상한이 둔다. 여기서 ω ∈ [2,3]은 선형 대수 상수이다.
• 자코비안 행렬의 최대 미니멀로 생성된 아이디얼은 그 생성자들의 선형 조합으로 이루어진 Gröbner 기저를 갖는다. 이는 애핀 경우에서 효과적인 변수 제거를 가능하게 한다.