[논문 리뷰] Gr\"obner basis and the automaton property of Hecke--Kiselman algebras

Arkadiusz Mȩcel, Jan Okniński|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 22.

Advanced Algebra and Logic인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 유한 방향 그래프와 관련된 Hecke--Kiselman 대수들이 자동기 대수임을 증명한다. 즉, 정규 단어들이 정규 언어를 이룬다. deg-lex 순서에 대한 그로버 기저 이론을 사용하여, 이러한 대수가 유한할 경우 정수 Gelfand-Kirillov 차원을 가짐을 증명하며, 방향 순환 그래프의 경우 대수가 유한 그로버 기저를 가짐을 보여, 이는 이전 연구에서 제기된 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

It is shown that the Hecke-Kiselman algebra associated to a finite directed graph is an automaton algebra in the sense of Ufnarovskii. Consequently, its Gelfand-Kirillov dimension is an integer if it is finite. As a consequence, it is proved that the Hecke-Kiselman algebra associated to an oriented cycle admits a finite Gr\"obner basis.

연구 동기 및 목표

• Ufnarovskii의 의미에서 Hecke--Kiselman 대수들이 유한 방향 그래프 위에서 자동기 대수인지 결정하는 것.
• 유한할 경우 Gelfand-Kirillov 차원의 정수성에 관해 [10]에서 제기된 질문을 해결하는 것.
• 방향 순환 그래프와 관련된 대수에 대해 유한 그로버 기저의 존재를 확립하는 것.
• 기초 모노이드 관계의 그로버 기저 분석을 통해 자동기 성질이 성립하는 것을 보여주는 것.
• 자동기 성질이 모든 방향 그래프로 일반화되지 않음을 보여주는 것—PI-대수들 사이에서도 마찬가지로 성립하지 않음.

제안 방법

• 방향 그래프 Θ에 대해 Hecke--Kiselman 모노이드 HKΘ의 정의 관계를 바탕으로 감소 체계 S'을 구성하는 것.
• 모든 S'-감소된 단어들이 S-감소된 단어이기도 하다는 것을 증명하여, 감소 체계가 다이아몬드 렘마 조건을 만족함을 보장하는 것.
• Ufnarovskii의 기준 적용: 만약 그로버 기저의 주항항들이 정규 언어를 형성하면, 대수는 자동기 대수이다.
• 자유 모노이드 위에서 deg-lex 단항식 순서를 사용하여 정규 형식을 분석하고 정규 단어 언어의 정규성을 확립하는 것.
• 순환 그래프 Cn의 경우, 최소한의 S'-감소된 단어들과 S-감소 가능한 단어들을 분석하여 그로버 기저가 유한함을 보여주는 것.
• C3를 확장한 4정점 그래프를 이용한 반례를 구성하여, PI-대수들이라도 일반적으로 유한 그로버 기저가 성립하지 않음을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 방향 그래프에 대해 deg-lex 순서에서 Hecke--Kiselman 대수가 유한 그로버 기저를 갖는가?
• RQ2 유한할 경우 이러한 대수의 Gelfand-Kirillov 차원은 항상 정수인가?
• RQ3 모든 방향 그래프 위에서 Hecke--Kiselman 대수의 자동기 성질(정규 단어의 정규 언어)이 성립하는가?
• RQ4 자동기 성질은 유한 GK 차원을 암시하는가? 이는 PI-대수일 경우에도 성립하는가?
• RQ5 PI이면서 유한 GK 차원을 가지지만 유한 그로버 기저를 갖지 않는 Hecke--Kiselman 대수의 예가 존재하는가?

주요 결과

• 모든 유한 방향 그래프 Θ에 대해 Hecke--Kiselman 대수 A = k[HKΘ]는 자동기 대수이다. 즉, 정규 단어들이 정규 언어를 이룬다.
• 그 결과, A의 Gelfand-Kirillov 차원은 유한할 경우 항상 정수이다.
• Θ가 방향 순환 그래프 Cn일 경우, 대수 k[HKΘ]는 deg-lex 순서에서 유한 그로버 기저를 갖는다.
• 논문은 모든 Hecke--Kiselman 대수가 방향 그래프에 대해 유한 그로버 기저를 갖지 않는다는 반례를 제시한다. 이는 PI-대수일 경우에도 마찬가지이다.
• 반례 대수의 Gelfand-Kirillov 차원은 정확히 2이며, 이는 유한하지만 유한 그로버 기저를 갖지 않음을 확인한다.
• 증명은 최소한의 S'-감소된 단어이지만 S-감소 가능한 단어가 존재할 수 없다는 것을 보여, 다이아몬드 렘마와 그로버 기저의 존재를 보장한다.