[논문 리뷰] Graded C*-algebras, graded K-theory, and twisted P-graph C*-algebras

Alex Kumjian, David Pask외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 02.

Advanced Operator Algebra Research인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 카스파로프 이론을 이용하여 C*-대수의 계급화된 K-이론을 계산하는 프레임워크를 개발한다. 킴스너의 6항 정확수열과 Z-중량에 대한 펌스너–보이쿨루 시퀀스의 계급화된 판본을 도입한다. Z₂로의 함자를 통해 2-코호몰로지와 함께 P-그래프 C*-대수의 꼬임진 정의를 통해, 이러한 대수의 계급화된 텐서곱이 P-그래프의 카르테시안 곱과 대응됨을 보이고, Z₂-중량에 대한 행렬형 1-그래프 C*-대수의 계급화된 K-이론을 계산하는 데에 이 기계를 적용하여 K₀^gr = Z₂² 및 K₁^gr = 0을 도출한다.

ABSTRACT

We develop methods for computing graded K-theory of C*-algebras as defined in terms of Kasparov theory. We establish graded versions of Pimsner's six-term sequences for graded Hilbert bimodules whose left action is injective and by compacts, and a graded Pimsner-Voiculescu sequence. We introduce the notion of a twisted P-graph C*-algebra and establish connections with graded C*-algebras. Specifically, we show how a functor from a P-graph into the group of order two determines a grading of the associated C*-algebra. We apply our graded version of Pimsner's exact sequence to compute the graded K-theory of a graph C*-algebra carrying such a grading.

연구 동기 및 목표

• 카스파로프 KK-이론을 이용하여 C*-대수의 계급화된 K-이론을 계산하는 도구를 개발하기 위해.
• 유한한 컴팩트 왼쪽 작용을 가진 힐베르트 이중모듈러스에 대해 킴스너의 6항 정확수열을 계급화된 설정으로 일반화하기 위해.
• 게이지 불변의 유일성과 교차곱 분해를 통해 꼬임진 P-그래프 C*-대수의 구조를 정의하고 확립하기 위해.
• P-그래프 위의 Z₂-값을 가진 함수가 관련 C*-대수의 중량을 유도할 수 있으며, 계급화된 텐서곱이 P-그래프의 카르테시안 곱과 대응됨을 보여주기 위해.
• 개발된 기계를 사용하여 Z₂-중량이 부여된 행렬형 1-그래프 C*-대수의 계급화된 K-이론을 계산하기 위해.

제안 방법

• 계급화된 C*-대수 A에 대해 KK(ℂ, A)로 계급화된 K-이론을 정의하고, K₁^gr에 대해 첫 번째 복소 클리포드 대수를 사용한다.
• 유한한 컴팩트 왼쪽 작용을 가진 힐베르트 이중모듈러스에 대해 킴스너의 6항 정확수열의 계급화된 판본을 확립한다.
• P-그래프와 Z₂-값을 가진 함수를 사용하여, 꼬임진 k-그래프 대수의 일반화로서 꼬임진 P-그래프 C*-대수를 도입한다.
• P = ℕᵏ × F 이며 F 가환군일 경우, 모든 P-그래프는 k-그래프에 대한 F의 교차곱임을 증명한다.
• P-그래프에서 ℤ₂로의 함수와 ℤ₂-값을 가진 2-코호몰로지로부터 계급화된 꼬임진 C*-대수의 보편적 기술을 구성한다.
• 두 꼬임진 P-그래프 대수의 계급화된 텐서곱이 자연스러운 코호몰로지와 함수에 대해 P×Q-그래프의 꼬임진 C*-대수와 동형임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카스파로프 이론과 일반화된 킴스너 시퀀스를 통해 C*-대수의 계급화된 K-이론을 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 꼬임진 P-그래프 C*-대수의 구조는 무엇이며, 계급화된 C*-대수와의 관계는 어떠한가?
• RQ3 P-그래프 위의 Z₂-값을 가진 함수는 관련 C*-대수의 중량을 어떻게 유도하는가?
• RQ4 계급화된 C*-대수의 계급화된 텐서곱은 꼬임진 P-그래프 대수로 표현될 수 있는가?
• RQ5 Z₂-중량이 부여된, ℤ₂로의 함수에 의해 유도된 행렬형 1-그래프 E에 대해, 계급화된 K-이론은 무엇인가?

주요 결과

• C*-대수의 계급화된 K-이론은 기저를 기반으로 한 켤레 변환에 의한 중량의 변형에 대해 불변이다.
• Z-중량에 대해 계급화된 킴스너–보이쿨루 시퀀스가 확립되었으며, 고전적 킴스너–보이쿨루 시퀀스를 계급화된 설정으로 일반화하였다.
• 도함수에 의해 유도된 중량을 가진 C*(Z₂)는 첫 번째 복소 클리포드 대수 ℂℓ₁과 동형이다.
• P = ℕᵏ × ℤ₂ˡ 이면, 자연스러운 함수와 코호몰로지가 부여된 관련된 꼬임진 P-그래프 C*-대수는 보편적 기술을 갖는다.
• 두 꼬임진 P-그래프 대수의 계급화된 텐서곱은 자연스러운 함수와 코호몰로지에 대해 P×Q-그래프의 꼬임진 C*-대수와 동형이다.
• 원천이 없는 행렬형 1-그래프 E에 대해, Z₂-중량이 부여된 계급화된 K-이론은 K₀^gr = ℤ₂² 및 K₁^gr = 0이다.