[논문 리뷰] Graded contact manifolds and principal Courant algebroids

Janusz Grabowski|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 04.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 접촉 구조와 잰비 구조를 위한 계단식 초다양체 프레임워크를 제안하며, 접촉 다양체를 호환 가능한 계층을 가진 심플렉틱 주 GL(1,R)-bundle로 해석한다. 선형 접촉 구조가 선형 번들의 첫 번째 제트에 대한 표준 접촉 구조와 정확히 일치함을 보이며, 벡터장 대신 일阶 미분 연산자를 갖는 리 대수다이드로이드의 일반화인 키릴로프 대수다이드로이드를 도출하고, 계단식 심플렉틱 프레임워크를 통해 러콴트 대수다이드로이드의 접촉 버전을 구축하는 데에 사용되는 업그레이드 절차를 제공한다.

ABSTRACT

We develop a systematic approach to contact and Jacobi structures on graded supermanifolds. In this framework, contact structures are interpreted as symplectic principal GL(1,R)-bundles. Gradings compatible with the GL(1,R)-action lead to the concept of a graded contact manifold, in particular a linear (more generally, n-linear) contact structure. Linear contact structures are proven to be exactly the canonical contact structures on first jets of line bundles. They provide linear Kirillov (or Jacobi) brackets and give rise to the concept of a Kirillov algebroid, an analog of a Lie algebroid, for which the corresponding cohomology operator is represented not by a vector field (de Rham derivative) but a first-order differential operator. It is shown that one can view Kirillov or Jacobi brackets as homological Hamiltonians on linear contact manifolds. Contact manifolds of degree 2 are studied, as well as contact analogs of Courant algebroids. We define lifting procedures that provide us with constructions of canonical examples of the structures in question.

연구 동기 및 목표

• 계단식 초다양체 위에서 접촉 및 잠비 구조를 체계적으로 기술하기 위한 프레임워크를 개발하는 것.
• 호환 가능한 계층을 가진 심플렉틱 주 GL(1,R)-다양체로 접촉 구조를 해석하는 것.
• 선형 접촉 구조가 선형 번들의 첫 번째 제트 위의 표준 구조임을 특성화하는 것.
• 벡터장이 아닌 일阶 미분 연산자를 갖는 코homology 연산자가 특징인 리 대수다이드로이드의 일반화로서 키릴로프 대수다이드로이드를 정의하는 것.
• 계단식 심플렉틱 프레임워크를 통해 러콴트 대수다이드로이드의 접촉 유사체를 구축하고, 표준 예시를 위한 업그레이드 절차를 제공하는 것.

제안 방법

• 계단식 초다양체 위에서 접촉 구조를 심플렉틱 주 GL(1,R)-다양체로 표현하는 것.
• GL(1,R)-작용과 호환되는 계층을 사용하여 계단식 접촉 다각체를 정의하며, 선형 및 n-선형 구조를 포함한다.
• 선형 접촉 구조를 선형 번들의 첫 번째 제트 번들의 표준 접촉 구조로 특성화하는 것.
• 코homology 연산자가 벡터장이 아닌 일阶 미분 연산자인 구조로 키릴로프 대수다이드로이드를 모델링하는 것.
• 심플렉틱 구조를 통해 선형 접촉 다각체 위에서 잠비 브라켓을 동치 구조의 해밀토니안으로 간주하는 것.
• 계단식 심플렉틱 프레임워크를 기반으로 업그레이드 절차를 사용하여 접촉 유사 러콴트 대수다이드로이드를 구축하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계단식 초다양체 위의 접촉 구조는 주 GL(1,R)-다양체를 통해 어떻게 체계적으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 선형 접촉 구조와 선형 번들의 첫 번째 제트 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 코homology 연산자가 일阶 미분 연산자일 때, 키릴로프 대수다이드로이드는 리 대수다이드로이드를 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 선형 접촉 다각체 위에서 잠비 브라켓은 어떻게 동치 구조의 해밀토니안으로 나타나는가?
• RQ5 접촉 유사 러콴트 대수다이드로이드의 구조적 및 코homological 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 선형 접촉 구조는 정확히 선형 번들의 첫 번째 제트 번들의 표준 접촉 구조이다.
• 키릴로프 대수다이드로이드는 코homology 연산자가 벡터장이 아닌 일阶 미분 연산자인 리 대수다이드로이드의 자연스러운 일반화로 식별된다.
• 계단식 초다양체 위의 잠비 브라켓은 심플렉틱 구조를 통해 선형 접촉 다각체 위의 동치 구조의 해밀토니안으로 간주될 수 있다.
• 차수 2의 접촉 다각체는 접촉 유사 러콴트 대수다이드로이드의 자연스러운 구성이 가능하다.
• 계단식 접촉 및 키릴로프 대수다이드로이드의 표준 예시를 생성하는 업그레이드 절차가 확립되었다.
• 이 프레임워크는 호환 가능한 계층을 가진 심플렉틱 주 GL(1,R)-다양체를 통해 잠비 구조의 기하학적 실현을 제공한다.