[논문 리뷰] Graded manifolds and Drinfeld doubles for Lie bialgebroids

Theodore Voronov|arXiv (Cornell University)|2001. 05. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 23인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 편미분과 무관한 $\mathbb{Z}$-중량(grading)을 가진 계급화된 다양체를 도입하고, 일관된 중량을 갖는 $QS$- 및 $QP$-다양체에 대한 드린펠트 이중체를 코탄제인 벡터장과 쇼텐 괄호를 갖춘 코탄제인 배럴 $T^*M$를 사용하여 구성한다. 이 구성은 리 이중대수에 대한 드린펠트 이중체를 복원하고, $QP$-다양체를 통한 기존의 리 초대수대수로의 확장에 따라 기존의 기묘한 리 이중대수로의 일반화를 가능하게 하며, $\ mathfrak{q}(n)$에 대해 새로운 기묘한 리 이중대수의 구조를 포함한다.

ABSTRACT

We define extit{graded manifolds} as a version of supermanifolds endowed with an additional $\mathbb Z$-grading in the structure sheaf, called extit{weight} (not linked with parity). Examples are ordinary supermanifolds, vector bundles over supermanifolds, double vector bundles, iterated constructions like $TTM$, etc. I give a construction of extit{doubles} for extit{graded} $QS$- and extit{graded $QP$-manifolds} (graded manifolds endowed with a homological vector field and a Schouten/Poisson bracket). Relation is explained with Drinfeld's Lie bialgebras and their doubles. Graded $QS$-manifolds can be considered, roughly, as ``generalized Lie bialgebroids''. The double for them is closely related with the analog of Drinfeld's double for Lie bialgebroids recently suggested by Roytenberg. Lie bialgebroids as a generalization of Lie bialgebras, over some base manifold, were defined by Mackenzie and P. Xu. Graded $QP$-manifolds give an {odd version} for all this, in particular, they contain ``odd analogs'' for Lie bialgebras, Manin triples, and Drinfeld's double.

연구 동기 및 목표

• 이중대수의 정의가 불일치하는 리 이중다양체에 대해 장기간의 문제를 해결하고자 하며, 이는 이전의 구성에서 일관된 리 이중다양체의 구조를 도출하지 못하기 때문이다.
• 기존의 리 이중대수에서 리 이중다양체로의 드린펠트 이중체 구성의 일반화를 위해, 중량 중량을 갖는 계급화된 다양체를 기반으로 한 새로운 기하학적 프레임워크를 도입하고자 한다.
• 기존의 $QP$-다양체를 통한 기묘한 기하학적 구조로의 이론 확장을 위해, 기묘한 리 이중대수의 이중체를 구성하고자 한다.
• 호모로지 벡터장, 쇼텐 괄호, 코탄제인 다각형의 기하학적 의미를 리 이중대수 데이터와 연결하는 통합된 기하학적 프레임워크를 제공하고자 한다.

제안 방법

• 기본 편미분과 무관한 $\ mathbb{Z}$-중량을 갖는 계급화된 다양체를 정의하여 슈퍼다양체와 벡터다양체를 일반화한다.
• $QS$-다양체(중량 $q$를 갖는 호모로지 벡터장 $\hat{Q}$와 일관된 중량 $s$를 갖는 쇼텐 괄호를 가진다)와 $QP$-다양체(호모로지 벡터장과 파울리 괄호를 가진다)를 도입하여 일반화된 리 이중다양체의 기하학적 모델을 제공한다.
• $DM = T^*M$를 계급화된 다양체 $M$의 코탄제인 다각형으로 구성하며, 원래 $\hat{Q}$와 동일한 중량 $q$를 갖는 자연스러운 호모로지 벡터장 $\hat{Q}_D$를 부여한다.
• 다양체 $M$ 위의 선형 접속을 사용하여 $DM$ 위에 '거의' 쇼텐 괄호를 정의하며, 이는 리 이중대수의 경우에만 진정한 쇼텐 괄호가 된다.
• 선형 구조로 제한했을 때, 이중체 구성이 고전적 드린펠트 이중체를 복원함을 증명한다.
• $QP$-다양체를 고려하여 기묘한 기하학적 구조로의 확장을 통해 기묘한 리 이중대수와 그 이중체를 구성하며, $\ mathfrak{q}(n)$을 예시로 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 구성에서 리 이중다양체의 일관된 드린펠트 이중체를 정의할 수 있는가? 특히 이전의 시도들이 리 이중다양체의 구조를 도출하지 못하는가에 대해.
• RQ2 기존의 리 이중대수에서 기저 다양체 위의 리 이중다양체로의 드린펠트 이중체 구성의 일반화는 어떻게 이루어질 수 있는가?
• RQ3 $\mathbb{Z}$-중량(중량)이 슈퍼다양체의 구조에서 수행하는 역할은 무엇이며, 이는 $\mathbb{Z}_2$-중량(편미분)과 어떻게 다를까?
• RQ4 드린펠트 이중체의 개념을 기묘한(초기) 기하학적 구조, 예를 들어 기묘한 리 이중대수로 확장할 수 있는가?
• RQ5 리 이중다양체의 맥락에서 호모로지 벡터장과 쇼텐/파울리 괄호 간의 호환성의 기하학적 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 계급화된 $QS$-다양체 $M$의 이중체 $DM = T^*M$는 원래 $\hat{Q}$와 동일한 중량 $q$를 갖는 자연스러운 호모로지 벡터장 $\hat{Q}_D$를 지닌다. 이는 기하학적 구조를 유지한다.
• 리 이중대수의 경우, $T^*M$ 위의 이중체 구성은 고전적 드린펠트 이중체를 포함한 전체 리 이중다양체의 구조를 복원한다.
• 쇼텐 괄호는 일반적인 경우에만 '거의' 쇼텐 괄호이지만, 선형(리 이중대수)의 경우에만 자코비 항등식을 만족한다.
• 이 프레임워크는 $QP$-다양체로 확장되어 기묘한 드린펠트 이중체의 이중체를 제공하며, 기묘한 리 이중다양체의 구성이 가능하다.
• 기본적으로 리 초대수대수 $\mathfrak{q}(n)$에 대해 기묘한 리 이중다양체의 구조를 명시적으로 구성하였으며, 이는 기묘한 매개변수 $\varepsilon$를 갖는 양자 초군수 $GQ_\varepsilon(n)$로의 양자화를 암시한다.
• 기본적인 미분동형사상이 $\Pi T^*E$와 $\Pi T^*(\Pi E^*)$ 사이에 존재하며, 이는 기묘한 심플렉틱 형식을 유지한다. 이는 이중체 구성의 이중성 기반을 제공한다.