[논문 리뷰] Gradient discretization of Hybrid Dimensional Darcy Flows in Fractured Porous Media with discontinuous pressures at the matrix fracture interfaces

Konstantin Brenner, Julian Hennicker외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 07.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 매질-균열 인터페이스에서 압력 불연속성이 있는 균열 다공성 매체 내의 하이브리드 차원 Darcy 유동에 대해 기울기 분할 프레임워크를 확장하여 일반 메esh와 비등방성 투과도에 대한 수렴 분석을 가능하게 한다. VAG(정점 근사 기울기) 및 HFV(하이브리드 유한체적) 스킴을 제안하고 분석하여, 특히 비등방성 설정에서 VAG가 HFV보다 우수한 수렴 속도와 효율성을 보임을 입증한다.

ABSTRACT

We investigate the discretization of Darcy flow through fractured porous media on general meshes. We consider a hybrid dimensional model, invoking a complex network of planar fractures. The model accounts for matrix-fracture interactions and fractures acting either as drains or as barriers, i.e. we have to deal with pressure discontinuities at matrix-fracture interfaces. The numerical analysis is performed in the general framework of gradient discretizations which is extended to the model under consideration. Two families of schemes namely the Vertex Approximate Gradient scheme (VAG) and the Hybrid Finite Volume scheme (HFV) are detailed and shown to satisfy the gradient scheme framework, which yields, in particular, convergence. Numerical tests confirm the theoretical results. Gradient Discretization; Darcy Flow, Discrete Fracture Networks, Finite Volume

연구 동기 및 목표

• 매질-균열 인터페이스에서 압력 불연속성이 있는 하이브리드 차원 Darcy 유동 모델에 대한 수렴 분석의 부족을 보완한다.
• 복잡한 균열 네트워크(완전, 부분, 비침습적 균열 및 균열 교차점 포함)를 수용할 수 있도록 기울기 스킴 프레임워크를 확장한다.
• 일반 다면체 메쉬에서 압력 불연속성 모델의 맥락에서 VAG 및 HFV 스킴에 대한 통합 수치 분석을 제공한다.
• 확장된 기울기 스킴 프레임워크 하에서 VAG 및 HFV 스킴의 수렴성을 입증하고, 조각별 정규 해에 대해 최적의 수렴 속도를 보임을 보여준다.
• 다상류 시뮬레이션에서의 실용적 구현을 안내하기 위해, 특히 비등방성 투과도 설정에서 VAG 및 HFV 스킴의 효율성과 정확도를 비교한다.

제안 방법

• 매질-균열 인터페이스에서 압력 불연속성이 있는 하이브리드 차원 Darcy 모델에 대해 기울기 스킴 프레임워크를 확장하여 일반 메쉬에 대한 수렴 분석을 가능하게 한다.
• 두 가지 스킴 가족을 제안한다: 정점 근사 기울기(VAG) 및 하이브리드 유한체적(HFV), 모두 압력 불연속성이 있는 하이브리드 차원 모델에 적응된 것이다.
• VAG 스킴에 대해 두 가지 버전을 개발한다: 삼각형 하위메쉬에 적용된 적합한 P1 유한요소 버전과 유량 및 소스 항에 대한 라우핑을 사용한 비적합한 체적 스킴 버전.
• VAG 및 HFV 스킴 모두에 대해 통일된 유한체적 수식을 도입하여 다상류 시뮬레이션에서의 구현을 지원한다.
• 기울기 스킴 프레임워크의 이론적 수렴 결과를 적용하여 조각별 정규 해에 대해 수렴 순서 1을 증명한다.
• 해석적 해를 사용한 수치 실험을 통해 이론적 수렴 속도를 검증하고 정확도 및 CPU 시간 측면에서 성능을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기울기 스킴 프레임워크는 매질-균열 인터페이스에서 압력 불연속성이 있는 하이브리드 차원 Darcy 유동을 다룰 수 있도록 확장될 수 있는가?
• RQ2 압력 점프가 있는 하이브리드 차원 모델에 적응된 VAG 및 HFV 스킴은 기울기 스킴 프레임워크의 수렴 성질을 만족하는가?
• RQ3 압력 불연속성이 존재하는 조건에서 조각별 정규 해에 대해 VAG 및 HFV 스킴의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 비등방성 투과도 조건에서 VAG 및 HFV 스킴은 정확도 및 계산 비용 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 VAG 스킴의 라우핑 형식은 유한요소 버전과 비교해 정확도와 수렴 속도를 유지하는가?

주요 결과

• VAG 및 HFV 스킴은 확장된 기울기 스킴 프레임워크에 성공적으로 통합되어 하이브리드 차원 Darcy 모델에 대한 수렴성을 보장한다.
• 조각별 정규 해의 경우 VAG 및 HFV 스킴 모두 이론적 프레임워크에 따라 최적의 수렴 순서 1을 달성한다.
• 직각좌표 메쉬에서 VAG 및 HFV 스킴은 해와 기울기에 대해 둘 다 2차 수렴을 달성하며, VAG는 균열 인터페이스에서 더 높은 자유도를 가진다.
• 비등방성 투과도 조건에서 VAG 스킴은 특히 삼각형 메쉬에서 HFV보다 정확도 대비 CPU 시간 비율에서 뛰어난 성능을 보인다.
• 라우핑된 VAG 형식은 적합한 P1 유한요소 버전과 동일한 수렴 속도와 정확도를 유지하여 그 강건성과 효율성을 확인한다.
• 수치 결과는 일반적으로 동일한 메쉬에서 HFV가 VAG보다 더 정확하지만, 계산 비용이 현저히 높아 VAG가 전체적으로 더 효율하다고 확인된다.