[논문 리뷰] Gradient estimates for singular $p$-Laplace type equations with measure data

Hongjie Dong, Hanye Zhu|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 17.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $p \in (1, \frac{3n-2}{2n-1}]$ 범위에서 측도 자료를 가진 특이 $p$-라플라스 유형 방정식의 해에 대해 날카운 내부 및 전역 기울기 추정을 수립한다. 이는 이전에 열려 있던 범위이다. 계수의 더 약한 디니 유형 연속성 조건과 기울기 연속성의 더 낮은 적분 조건 하에서, 이전의 월프 포텐셜 대신 잘린 리에즈 포텐셜 $\mathbf{I}_1^R(|\mu|)$를 사용하여 기존 결과를 향상시켰다.

ABSTRACT

We are concerned with interior and global gradient estimates for solutions to a class of singular quasilinear elliptic equations with measure data, whose prototype is given by the $p$-Laplace equation $-Δ_p u=μ$ with $p\in (1,2)$. The cases when $p\in \big(2-\frac 1 n,2\big)$ and $p\in \big(\frac{3n-2}{2n-1},2-\frac{1}{n}\big]$ were studied in [9] and [22], respectively. In this paper, we improve the results in [22] and address the open case when $p\in \big(1,\frac{3n-2}{2n-1}\big]$. Interior and global modulus of continuity estimates of the gradients of solutions are also established.

연구 동기 및 목표

• 기존 연구에서 완전히 다루지 못한 $p \in (1, \frac{3n-2}{2n-1}]$ 범위에서 측도 자료를 가진 특이 $p$-라플라스 방정식에 대해 기울기 추정의 열린 문제를 다루기.
• 벡터장 $A(x,\xi)$와 연속성 모듈러스 $\omega$에 대한 정규성 조건을 약화시켜 [22]의 기존 결과를 개선하기.
• 최소한의 구조적 및 정규성 조건 하에서 해의 기울기의 내부 및 전역 연속성 모듈러스 추정을 수립하기.
• 더 자연스럽고 강력한 이전에 사용된 월프 포텐셜보다 더 나은 잘린 일阶 리에즈 포텐셜 $\mathbf{I}_1^R(|\mu|)$를 사용하여 점별 기울기 바ounds를 제공하기.

제안 방법

• 특이 $p$-라플라스 방정식에서 $p \in (1,2)$ 일 때, 수정된 반복 추론 기법을 사용하여 내부 점별 기울기 추정을 유도하기.
• 기울기 성장률을 제어하기 위한 주요 포텐셜로 잘린 리에즈 포텐셜 $\mathbf{I}_1^R(|\mu|)(x) = \int_0^R \frac{|\mu|(B_t(x))}{t^{n-1}} \frac{dt}{t}$ 를 사용하기.
• 기울기의 진동을 제어하기 위해 $|\nabla u|+s$의 $L^{2-p}$-노름과 리에즈 포텐셜의 $L^\infty$-노름을 조합한 새로운 최대함수 $\mathbf{M}_1$을 도입하기.
• 공간의 이진 분해와 구 위에서의 평균화 기법을 사용하여 $\nabla u$의 진동을 제어하기. 이는 디니 조건 $\int_0^1 \omega(r) \frac{dr}{r} < \infty$ 에 기반한다.
• 소규모 구에서 추정을 국소화하기 위해 수정된 월프 포텐셜 $\tilde{\mathbf{W}}_{1/p,p}^\rho(|\mu|)$ 와 리에즈 포텐셜 $\tilde{\mathbf{I}}_1^\rho(|\mu|)$ 를 정의하기.
• 기울기 $\nabla u$ 의 진동 감쇠와 포텐셜 항의 감쇠를 조합하여 전역 연속성 모듈러스 추정을 수립하기. 힐더 유형 제어를 위해 파ameter $\alpha_1 \in (0,\alpha)$ 를 사용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이 $p$-라플라스 방정식에 대해 측도 자료를 가진 $p \in (1, \frac{3n-2}{2n-1}]$ 범위에서 날카운 점별 기울기 추정을 수립할 수 있는가?
• RQ2 이전 결과에서 월프 포텐셜에 의존하는 것의 의존도를 더 자연스럽고 강력한 리에즈 포텐셜 $\mathbf{I}_1^R(|\mu|)$로 대체할 수 있는가? 이는 더 약한 정규성 조건 하에서 가능할까?
• RQ3 측도 자료 $\mu$ 와 디니 모듈러스 $\omega$ 에 대해 $\nabla u$ 의 최적 연속성 모듈러스는 무엇인가?
• RQ4 특히 특이 범위 $p \in (1,2)$ 에서, $A(x,\xi)$ 와 $\omega$ 에 대한 정규성 조건을 이전 연구보다 약화시킬 수 있는가?
• RQ5 기울기의 진동은 작은 구에서 어떻게 감쇠하는가? 그리고 $\omega$ 에 대한 디니 조건은 이 감쇠에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 새로운 내부 점별 기울기 추정을 수립한다: $|\nabla u(x)| \leq C[\mathbf{I}_1^R(|\mu|)(x)]^{1/(p-1)} + C\left(\fint_{B_R(x)}(|\nabla u|+s)^{2-p}\,dy\right)^{1/(2-p)}$ for $p \in (\frac{3n-2}{2n-1}, 2)$, Lebesgue 점에서 유효하다.
• 리에즈 포텐셜 $\mathbf{I}_1^R(|\mu|)$ 는 [22]에서 사용된 월프 포텐셜 $\mathbf{P}_\gamma^R(|\mu|)$ 보다 엄밀히 더 강력한 제어를 제공한다. $\gamma < 1$ 일 때 $\mathbf{I}_1^R(|\mu|) \leq C \mathbf{P}_\gamma^{2R}(|\mu|)^{1/\gamma}$ 이며, 새로운 추정은 $\omega$ 와 $A$ 에 대한 더 약한 가정 하에서도 성립한다.
• 전역 연속성 모듈러스 추정이 유도된다: $|\nabla u(x) - \nabla u(y)| \leq C \left[ \left(\frac{\rho}{R}\right)^{\alpha_1} + \int_0^\rho \frac{\tilde{\omega}_1(t)}{t} dt \right] + C \|\tilde{\mathbf{W}}_{1/p,p}^\rho(|\mu|)\|_{L^\infty} + C \mathbf{M}_1^{2-p} \|\tilde{\mathbf{I}}_1^\rho(|\mu|)\|_{L^\infty}$, $\rho = |x-y|$ 이며, 디니 연속성과 $\alpha_1$-힐더 제어 조건 하에서 성립한다.
• 추정식의 상수들은 $n, p, \lambda, \omega$, 및 $R_0$ 에만 의존하며, [22]에서 요구된 더 강력한 디니 유형 조건 $\int_0^1 \omega^\gamma(r) \frac{dr}{r} < \infty$ 가 필요로 하지 않는다.
• 결과들은 전체 범위 $p \in (1, \frac{3n-2}{2n-1}]$ 로 확장되며, 측도 자료를 가진 특이 $p$-라플라스 방정식에 대한 문헌에서의 갭을 메운다.
• 방법론은 기울기의 진동을 제어하기 위해 이진 분해와 최대함수 기법의 새로운 응용에 기반하며, 핵심 혁신은 특이 영역에서 월프 포텐셜 대신 리에즈 포텐셜을 사용한 것이다.