[논문 리뷰] Gramian-Based Model Reduction of Directed Networks

Xiaodong Cheng, Jacquelien M.A. Scherpen|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 04.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 39인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 약한 연결된 방향성 네트워크 시스템을 위한 구조 유지 모델 축소 방법을 제안한다. 여기서 의사 그람형(matrix)을 사용하여 정점 간 이질성을 측정하고 그래프 클러스터링을 유도한다. 반가속성 시스템에 대해 의사 제어성 및 관측성 그람형을 정의하고, 이를 페트로프-갈레르킨 프레임워크에 통합함으로써, 방향성 네트워크의 구조를 유지하면서 근사 오차가 유계임을 보장하는 저차원 모델을 생성한다. 수치 결과는 낮은 차수의 축소 모델에서도 높은 정확도를 보임을 보여준다.

ABSTRACT

This paper investigates a model reduction problem for linear directed network systems, in which the interconnections among the vertices are described by general weakly connected digraphs. First, the definitions of pseudo controllability and observability Gramians are proposed for semistable systems, and their solutions are characterized by Lyapunov-like equations. Then, we introduce a concept of vertex clusterability to guarantee the boundedness of the approximation error and use the newly proposed Gramians to facilitate the evaluation of the dissimilarity of each pair of vertices. An clustering algorithm is thereto provided to generate an appropriate graph clustering, whose characteristic matrix is employed as the projections in the Petrov-Galerkin reduction framework. The obtained reduced-order system preserves the weakly connected directed network structure, and the approximation error is computed by the pseudo Gramians. Finally, the efficiency of the proposed approach is illustrated by numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 약한 연결된 방향성 네트워크에 대한 구조 유지 모델 축소 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 정점 클러스터러빌리티(정점 집합의 집합 가능성) 개념을 도입하여 근사 오차가 유계임을 보장하는 클러스터링 전략을 개발하기 위해.
• 반가속성 시스템의 라플라스 유사 방정식에서 유도된 의사 그람형을 사용하여 정점 간 이질성을 정량화하기 위해.
• 페트로프-갈레르킨 프레임워크 내에서 그래프 클러스터링을 통한 투영을 활용하여 저차원 모델에서 방향성 네트워크의 구조를 유지하기 위해.
• 대규모 방향성 네트워크, 특히 이전 방법이 실패하는 비강한 연결 예제에 대해 본 방법의 효율성과 정확성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 반가속성 시스템에 대해 라플라스 유사 방정식의 해를 통해 정의된 의사 제어성 및 관측성 그람형을 도입한다.
• 모델 축소에서 근사 오차가 유계임을 보장하기 위해 정점 클러스터러빌리티를 조건으로 정의한다.
• 의사 그람형을 사용하여 정점 간 쌍별 이질성을 계산하고, 동적 행동의 차이를 정량화한다.
• 이질성 기반의 그래프 클러스터링 알고리즘을 적용하여 정점을 클러스터로 묶으며, 클러스터링의 특성 행렬을 투영 행렬로 사용한다.
• 이러한 투영을 페트로프-갈레르킨 프레임워크에 적용하여 원래의 방향성 네트워크의 라플라스 행렬 구조를 유지하는 저차원 모델을 유도한다.
• 성능 평가를 위해 정리 8을 사용하여 $η_2$-노름 근사 오차를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 연결된 방향성 네트워크에 대해 네트워크 구조를 유지하면서 어떻게 모델 축소를 수행할 수 있는가?
• RQ2 방향성 네트워크 시스템에서 정점을 집합화할 때 근사 오차가 유계임을 보장할 수 있는 기준은 무엇인가?
• RQ3 반가속성 동역학을 가진 방향성 네트워크에서 정점 간 이질성을 어떻게 정량화할 수 있는가?
• RQ4 반가속성 시스템의 의사 그람형이 모델 축소에서 그래프 클러스터링을 효과적으로 유도할 수 있는가?
• RQ5 입력 전용 이질성 또는 무작위 클러스터링과 비교할 때, 제안된 방법의 근사 정확도는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 약한 연결된 735정점 방향성 네트워크의 100정점 저차원 모델에 대해 $η_2$-노름 근사 오차가 0.0011로 나타나 높은 정확도를 보였다.
• 저차원이 증가할수록 근사 오차가 급격히 감소하였으며, 제안된 방법과 입력 전용 이질성 기반 방법이 모두 랜덤 클러스터링보다 유의미하게 뛰어난 성능을 보였다.
• 대부분의 계산 시간(538.09초)은 의사 그람형 라플라스 유사 방정식의 해를 구하는 데 소요되었으며, 클러스터링 및 이질성 계산은 훨씬 빠르게 수행되었다.
• 이전 방법이 프로베니우스 고유벡터에 의존하여 실패하는 비강한 연결 네트워크에 대해서도 본 방법이 효과적이며, 하웰-보잉 매트릭스 예제를 통해 이를 입증하였다.
• 도표 7에서 보듯이, 저차원 모델은 방향성 네트워크의 구조를 유지한다. 저차원 시스템의 라플라스 행렬은 원래의 구조를 반영하고 있다.
• 표준 해법기를 사용할 경우 대규모 네트워크에 대해서도 계산적으로 실현 가능하며, 더 큰 시스템에 대해서는 ADI 또는 크릴로프 방법을 사용할 수 있다.