[논문 리뷰] Gramian-based reachability metrics for bilinear networks

Yingbo Zhao, Jorge Cortés|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 09.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 34인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이산시간 이차형 네트워크의 그람형 기반 접근 가능성 지표를 도입하여, 시스템 상태를 원점에서 임의의 접근 가능한 목표로 이동시키기 위해 필요한 최소 입력 에너지를 정량화한다. 입력의 무한노름을 제한하고 접근 가능성 그람형을 활용함으로써, 저하된 에너지 요구량의 하한을 유도하며, 이중선형 입력이 상호연결성을 조절할 경우 네트워크 구조와 입력 분포에 따라 가시적 개선 또는 유지가 가능함을 보여준다.

ABSTRACT

This paper studies Gramian-based reachability metrics for bilinear control systems. In the context of complex networks, bilinear systems capture scenarios where an actuator not only can affect the state of a node but also interconnections among nodes. Under the assumption that the input's infinity norm is bounded by some function of the network dynamic matrices, we derive a Gramian-based lower bound on the minimum input energy required to steer the state from the origin to any reachable target state. This result motivates our study of various objects associated to the reachability Gramian to quantify the ease of controllability of the bilinear network: the minimum eigenvalue (worst-case minimum input energy to reach a state), the trace (average minimum input energy to reach a state), and its determinant (volume of the ellipsoid containing the reachable states using control inputs with no more than unit energy). We establish an increasing returns property of the reachability Gramian as a function of the actuators, which in turn allows us to derive a general lower bound on the reachability metrics in terms of the aggregate contribution of the individual actuators. We conclude by examining the effect on the worst-case minimum input energy of the addition of bilinear inputs to difficult-to-control linear symmetric networks. We show that the bilinear networks resulting from the addition of either inputs at a finite number of interconnections or at all self loops with weight vanishing with the network scale remain difficult-to-control. Various examples illustrate our results.

연구 동기 및 목표

• 이중선형 제어 네트워크를 위한 정량적 접근 가능성 지표를 개발하여, 바이너리 제어 가능성 이상의 개념을 넘어서 입력 에너지 요구량을 측정하고자 한다.
• 선형 제어 모델의 한계를 해결하고자 하며, 이는 입력이 노드 상태에만 영향을 주고 상호연결성에는 영향을 주지 않는다는 가정에서 비롯된다.
• 이중선형 입력(노드 상태와 상호연결성 강도를 모두 조절할 수 있음)이 복잡한 네트워크의 제어 가능성에 미치는 영향을 조사하고자 한다.
• 입력의 노름이 유한한 조건 하에서 접근 가능성 그람형을 사용하여 최소 입력 에너지의 이론적 하한을 수립하고자 한다.
• 이중선형 제어가 대규모 대칭 선형 네트워크의 본질적 제어 곤란성을 극복할 수 있는지 분석하고자 한다.

제안 방법

• 이산시간 이중선형 시스템에 대한 접근 가능성 그람형을 정의하고, 입력의 무한노름이 시스템 행렬의 함수로 유한한 조건 하에서 어떤 목표 상태에 도달하기 위한 최소 입력 에너지의 하한을 도출한다.
• 그람형 기반으로 세 가지 접근 가능성 지표를 도입한다: 최소 고유값(최악의 경우 에너지), 트레이스(평균 에너지), 행렬식(단위 에너지 입력 하에서의 접근 가능한 상태의 부피).
• 제어기 집합에 대한 접근 가능성 그람형의 초모듈라리티를 확립함으로써, 개별 제어기 기여도에 기반한 지표 하한을 도출할 수 있다.
• 선형 대칭 네트워크에 이중선형 입력을 추가한 영향을 분석하며, 특히 자기순환 조절과 상호연결성 조절에 초점을 맞춘다.
• 체계적 탐색과 수치적 예제를 활용하여 다양한 제어기 배치 및 입력 구성의 성능을 평가한다.
• 네트워크 크기가 증가함에 따라 선형 및 이중선형 네트워크의 행동을 비교함으로써 제어 가능성의 확장성 평가를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 접근 가능성 그람형을 사용하여 이중선형 네트워크에서 목표 상태에 도달하기 위한 최소 입력 에너지를 어떻게 하한화할 수 있는가?
• RQ2 대칭 선형 네트워크에서 상호연결성을 조절하는 이중선형 입력을 추가할 경우 최악의 경우 최소 입력 에너지는 어떻게 영향을 받는가?
• RQ3 유한한 강도로 자기순환을 조절하는 이중선형 입력을 통해 대규모 대칭 선형 네트워크의 제어 가능성을 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 이중선형 제어가 선형 제어에 비해 요구되는 입력 에너지를 크게 감소시키는 조건는 무엇인가?
• RQ5 접근 가능성 지표(그람형의 최소 고유값, 트레이스, 행렬식)는 네트워크 크기와 제어기 구성에 따라 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 선형 대칭 선형 네트워크에서 접근 가능성 그람형의 최소 고유값은 네트워크 크기가 증가함에 따라 지수적으로 감소하며, 이는 최악의 경우 제어 에너지가 지수적으로 증가함을 시사한다.
• 유한한 수의 자기순환을 제한된 강도로 조절하는 이중선형 입력을 추가하더라도 최악의 제어 에너지는 감소하지 않으며, 이러한 네트워크는 여전히 제어하기 어려운 편이다.
• 일정한 강도로 증가하는 수의 상호연결성(예: 모든 인접 쌍)을 조절하는 이중선형 입력을 추가할 경우, 네트워크 크기가 증가함에 따라 그람형의 최소 고유값은 일정하게 유지되며, 이는 제어 가능성의 유지 또는 향상됨을 의미한다.
• 비영인 강도로 무한히 많은 상호연결성을 조절하는 이중선형 입력을 추가할 경우, 네트워크 스케일이 증가함에 따라 그람형의 최소 고유값이 일정하게 유지됨을 보여주며, 이는 제어하기 어려운 선형 네트워크를 쉽게 제어할 수 있음을 시사한다.
• 접근 가능성 그람형은 제어기 집합에 대해 초모듈라리티를 가지며, 이는 개별 제어기의 기여도 집합에 기반한 접근 가능성 지표 하한을 유도할 수 있음을 의미한다.
• 접근 가능성 그람형의 행렬식은 단위 에너지 입력 하에서의 접근 가능한 상태 집합의 부피를 정량화하며, 제어 가능성의 기하학적 의미를 제공한다.