[논문 리뷰] Grammar Logics in Nested Sequent Calculus: Proof Theory and Decision Procedures

Alwen Tiu, Egor Ianovski외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 11.

Logic, Reasoning, and Knowledge참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 대기문자 역할을 하는 문법 논리에 대해 내재된 순차식 계산 프레임워크를 제시하며, 문법적 컷-제거와 깊이 있는 인프런스를 사용한 문맥 자유 문법 논리에 대한 새로운 준결정적 절차를 제공한다. 정규 문법일 경우 이 절차가 종료됨을 입증하여, 명시적인 유한 상태 기계를 입력으로 요구하지 않는 결정 절차를 도출한다.

ABSTRACT

A grammar logic refers to an extension to the multi-modal logic K in which the modal axioms are generated from a formal grammar. We consider a proof theory, in nested sequent calculus, of grammar logics with converse, i.e., every modal operator [a] comes with a converse. Extending previous works on nested sequent systems for tense logics, we show all grammar logics (with or without converse) can be formalised in nested sequent calculi, where the axioms are internalised in the calculi as structural rules. Syntactic cut-elimination for these calculi is proved using a procedure similar to that for display logics. If the grammar is context-free, then one can get rid of all structural rules, in favor of deep inference and additional propagation rules. We give a novel semi-decision procedure for context-free grammar logics, using nested sequent calculus with deep inference, and show that, in the case where the given context-free grammar is regular, this procedure terminates. Unlike all other existing decision procedures for regular grammar logics in the literature, our procedure does not assume that a finite state automaton encoding the axioms is given.

연구 동기 및 목표

• 내재된 순차식 계산을 사용하여 대기문자 역할을 하는 문법 논리에 대한 증명 이론적 프레임워크를 개발한다.
• 표시 계산에서 복잡한 구조 규칙으로 인한 증명 탐색의 한계를 제거하기 위해 내재된 순차식 계산의 구조 규칙을 제거한다.
• 깊이 있는 인프런스와 전파 규칙을 사용하여 문맥 자유 문법 논리에 대한 준결정적 절차를 설계한다.
• 정규 문법 논리에 대해 절차의 종료성과 정당성을 입증하며, 명시적인 유한 상태 기계가 제공되지 않은 경우에도 가능하다.
• 내재된 순차식 계산과 레이블된 계산 간의 연결 고리를 구조 규칙의 허용성과 전파 규칙을 통해 확립한다.

제안 방법

• 심층 내재된 순차식 계산에서 대기문자 역할을 하는 문법 논리를 형식화하고, 공리들을 구조 규칙으로 내재화한다.
• 표시 논리에서와 유사한 절차를 사용하여 문법적 컷-제거를 증명한다.
• 문맥 자유 문법에 대해 구조 규칙을 깊이 있는 인프런스와 전파 규칙으로 대체한다.
• 반복적 깊이 탐색과 S-안정 순차식의 포화를 기반으로 한 준결정적 절차를 도입한다.
• 반사형 시스템의 폐쇄 작용을 사용하여 FSA의 행동을 시뮬레이션하고 안정 순차식의 크기를 제한한다.
• FSA-안정 순차식과 S-안정, S-전파 순차식 간의 대응 관계를 확립하여 정규 문법에 대해 종료성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대기문자 역할을 하는 문법 논리는 내재된 순차식 계산에서 문법적 컷-제거를 갖는 방식으로 형식화될 수 있는가?
• RQ2 깊이 있는 인프런스를 사용하여 내재된 순차식 계산에서 문맥 자유 문법 논리의 구조 규칙을 제거할 수 있는가?
• RQ3 내재된 순차식 계산과 깊이 있는 인프런스를 기반으로 한 문맥 자유 문법 논리에 대한 준결정적 절차가 존재하는가?
• RQ4 명시적인 유한 상태 기계가 제공되지 않은 정규 문법 논리에 대해 이 절차가 종료되는가?
• RQ5 내재된 순차식 계산의 구조 규칙과 레이블된 계산의 프레임 규칙 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 대기문자 역할을 하는 문법 논리(유무에 관계없이)는 구조 규칙을 갖는 내재된 순차식 계산에서 형식화 가능하며, 문법적 컷-제거가 성립한다.
• 문맥 자유 문법에 대해 구조 규칙은 깊이 있는 인프런스와 전파 규칙으로 대체 가능하며, 준결정적 절차를 가능하게 한다.
• 문맥 자유 문법 논리에 대한 준결정적 절차는 정확하다: 공식이 증명 가능할 때만 ⊤를 반환한다.
• 정규 문법 논리에 대해 절차는 S-안정 순차식의 크기가 유한하게 제한되어 있어 종료되며, 명시적인 FSA가 없어도 가능하다.
• 이 절차는 정규 문법 논리에 대한 결정 절차이며, 문법을 유한 상태 기계로 인코딩할 필요가 없다.
• 구조 규칙의 허용성과 전파 규칙을 통해 내재된 순차식 계산과 레이블된 계산 간의 연결 고리가 강화된다.