[논문 리뷰] Graph and String Parameters: Connections Between Pathwidth, Cutwidth and the Locality Number

Katrin Casel, Joel D. Day외 4명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 44인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 감소 기법을 통해 스트링 매개변수 국소성 수와 그래프 매개변수 컷위드스와 패스위드스 사이의 새로운 연결을 수립한다. 국소성 수를 계산하는 것은 NP-난이도이지만 국소성 수 또는 알파벳 크기로 매개변수화할 경우 고정-파rameter 추적 가능하다는 것을 증명하며, O(√(log(opt) log(n)))-근사 알고리즘을 제공한다. 또한 다중그래프에 대해 컷위드스에서 패스위드스로의 근사 보존 감소를 개선된 근사 비율로 가능하게 한다.

ABSTRACT

We investigate the locality number, a recently introduced structural parameter for strings (with applications in pattern matching with variables), and its connection to two important graph-parameters, cutwidth and pathwidth. These connections allow us to show that computing the locality number is NP-hard but fixed-parameter tractable (when the locality number or the alphabet size is treated as a parameter), and can be approximated with ratio O(sqrt{log{opt}} log n). As a by-product, we also relate cutwidth via the locality number to pathwidth, which is of independent interest, since it improves the best currently known approximation algorithm for cutwidth. In addition to these main results, we also consider the possibility of greedy-based approximation algorithms for the locality number.

연구 동기 및 목표

• 스트링 패턴 매칭에서 국소성 수의 계산 복잡도에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 국소성 수와 컷위드스 및 패스위드스와 같은 전통적인 그래프 매개변수 사이의 공식적 연결을 수립하기 위해.
• 패스위드스에서의 감소를 통해 국소성 수와 컷위드스에 대한 근사 알고리즘을 개발하기 위해.
• 국소성 수를 국소성 수 또는 알파벳 크기로 매개변수화할 때 계산하는 데 있어 고정-파rameter 추적 가능한 알고리즘을 제공하기 위해.
• 기존의 패스위드스 및 컷위드스 알고리즘을 활용하여 국소성 수를 계산할 수 있도록 함으로써 실용적 영향을 보여주기 위해.

제안 방법

• 정점에 클리크 확장을 사용하여 문자열을 그래프로 변환하는 방식으로 국소성 수 문제를 패스위드스로 감소시킨다.
• 기존의 패스위드스에서 컷위드스로의 감소를 적용하여 패스위드스에서 컷위드스로의 근사 보존 매핑을 수립한다.
• 변환된 그래프에서 경로 분해를 시뮬레이션하기 위해 pd-마킹 체계를 사용하며, 너비 한계를 유지한다.
• 두 단계 감소를 활용: 먼저 국소성 수에서 패스위드스로, 그 다음 패스위드스에서 컷위드스로의 감소를 수행하며, 근사 비율을 유지한다.
• 기존의 패스위드스 근사 알고리즘(예: O(√(log(opt) log n)) 및 O(tw√log tw))을 활용하여 컷위드스에 대한 새로운 비율을 유도한다.
• 패스위드스에 대한 r(opt, |V|)-근사가 존재할 경우, h개의 간선을 가진 다중그래프에서 컷위드스에 대해 2r(2opt, h)-근사가 유도됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소성 수를 계산하는 것은 NP-난이도이며, 국소성 수 또는 알파벳 크기로 매개변수화할 경우 고정-파rameter 추적 가능한 시간에 해결할 수 있는가?
• RQ2 국소성 수는 비트리비얼 비율 내에서 근사 가능하며, 최선의 근사 비율은 무엇인가?
• RQ3 국소성 수와 컷위드스 및 패스위드스와 같은 전통적인 그래프 매개변수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 기존의 패스위드스 근사 알고리즘을 활용하여 컷위드스 및 국소성 수에 대한 새로운 근사 알고리즘을 도출할 수 있는가?
• RQ5 컷위드스에서 패스위드스로의 근사 보존 감소가 존재하는가? 이는 다항 근사 비율을 유지하는가?

주요 결과

• 국소성 수를 계산하는 것은 NP-난이도이지만, 국소성 수 또는 알파벳 크기로 매개변수화할 경우 고정-파rameter 추적 가능하다는 것이 증명되어 문헌에서 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다.
• 국소성 수는 O(√(log(opt) log(n)))-근사 알고리즘을 갖는다. 이는 이 매개변수에 대해 처음으로 비트리비얼 근사 비율을 제공한다.
• 컷위드스에서 패스위드스로의 근사 보존 감소가 수립되었으며, 이는 패스위드스에 대한 r(opt, |V|)-근사가 존재할 경우, h개의 간선을 가진 다중그래프에서 컷위드스에 대해 2r(2opt, h)-근사가 유도됨을 보여준다.
• h개의 간선을 가진 다중그래프에서 MinCutwidth에 대해 O(√(log(opt) log(h)))-근사 알고리즘을 확보하였으며, 이는 이전에 알려진 비율보다 향상된 것이다.
• 패스위드스에 대한 O(tw√log tw)-근사 알고리즘을 기반으로, 다중그래프에서 MinCutwidth에 대해 O(√(log(opt) opt))-근사 알고리즘을 도출하였다.
• 감소 기법은 실용적이며, 기존의 패스위드스 및 컷위드스 알고리즘을 국소성 수 계산에 적응시킬 수 있도록 하여 실세계 적용 가능성도 있다.