[논문 리뷰] Graph Automorphism and Topological Characterization of Synthetic and Natural Complex Networks by Information Content.

Héctor Zenil, Fernando Soler Toscano외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 03.

Computability, Logic, AI Algorithms인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 그래프 인cidency 행렬에 대해 Kolmogorov 복잡도 근사치—손실 없는 압축과 블록 분해 방법(BDM)—를 사용하여 합성 네트워크와 자연 네트워크의 알고리즘 무작위성과 자기동형군 구조를 특성화한다. 스케일프리(Barabasi-Albert) 및 스몰월드(Watts-Strogatz) 네트워크는 에르도스-레니 반복 그래프보다 낮은 알고리즘 복잡도를 보이며, 네트워크 생성 메커니즘과 알고리즘 정보이론 사이의 연결 고리를 드러낸다.

ABSTRACT

We show that numerical approximations of Kolmogorov complexity (K) applied to graph adjacency matrices capture some group-theoretic and topological properties of graphs and empirical networks ranging from metabolic to social networks. That K and the size of the group of automorphisms of a graph are correlated opens up interesting connections to problems in computational geometry, and thus connects several measures and concepts from complexity science. We show that approximations of K characterise synthetic and natural networks by their generating mechanisms, assigning lower algorithmic randomness to complex network models (Watts-Strogatz and Barabasi-Albert networks) and high Kolmogorov complexity to (random) Erdos-Renyi graphs. We derive these results via two different Kolmogorov complexity approximation methods applied to the adjacency matrices of the graphs and networks. The methods used are the traditional lossless compression approach to Kolmogorov complexity, and a normalised version of a Block Decomposition Method (BDM) measure, based on algorithmic probability theory.

연구 동기 및 목표

• 수치적 Kolmogorov 복잡도 근사치가 복잡한 네트워크의 군론적 및 위상수학적 성질을 포착할 수 있는지 조사하기 위해.
• 그래프에서 알고리즘 복잡도와 자기동형군 크기 간의 관계를 검토하기 위해.
• 선호적 연결(예: Barabasi-Albert) 및 무작위 재연결(예: Watts-Strogatz)을 포함한 합성 네트워크와 생물학적 대사, 사회 네트워크 등의 실세계 네트워크를 알고리즘 무작위성 기반으로 특성화하기 위해.
• 인cidency 행렬에 대해 두 가지 Kolmogorov 복잡도 근사치—손실 없는 압축과 정규화된 BDM—의 효과성을 비교하기 위해.
• 알고리즘 복잡도, 네트워크 생성 메커니즘, 계산 기하학의 개념 간의 연결 고리를 탐색하기 위해.

제안 방법

• Kolmogorov 복잡도(K)의 대체로 손실 없는 압축 알고리즘을 인cidency 행렬에 적용하기 위해.
• 알고리즘 확률 이론에 기반한 정규화된 블록 분해 방법(BDM)을 사용하여 인cidency 행렬에서 K를 추정하기 위해.
• 각 그래프의 자기동형군 크기를 계산하여 알고리즘 복잡도 추정치와 상관관계를 분석하기 위해.
• 손실 없는 압축과 정규화된 BDM 두 방법을 사용하여 합성 네트워크(Watts-Strogatz, Barabasi-Albert, Erdos-Renyi)와 실세계 네트워크(대사, 사회)를 분석하기 위해.
• 두 복잡도 추정 기법을 사용하여 네트워크의 알고리즘 무작위성과 기초적인 생성 메커니즘 간의 관계를 비교 분석하기 위해.
• 정보이론적 측정치를 활용하여 구조적 대칭성(자기동형)과 알고리즘 복잡도 간의 연결 고리를 맺기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Kolmogorov 복잡도 근사치는 그래프의 자기동형군 크기와 어떻게 상관관계가 있는가?
• RQ2 알고리즘 복잡도는 선호적 연결과 무작위 재연결 등의 서로 다른 생성 메커니즘을 가진 네트워크 모델을 구분할 수 있는가?
• RQ3 Watts-Strogatz 및 Barabasi-Albert와 같은 합성 네트워크는 Erdos-Renyi 무작위 그래프보다 낮은 알고리즘 무작위성을 보이는가?
• RQ4 손실 없는 압축과 정규화된 BDM은 그래프 인cidency 행렬에서 알고리즘 복잡도를 추정하는 데 어떻게 비교되는가?
• RQ5 실세계의 복잡한 네트워크에서 위상적 구조와 알고리즘 정보량 간의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 선호적 연결(Barabasi-Albert) 및 스몰월드 메커니즘(Watts-Strogatz)으로 생성된 합성 네트워크는 에르도스-레니 반복 그래프보다 낮은 알고리즘 복잡도를 보인다.
• 에르도스-레니 반복 그래프는 더 높은 Kolmogorov 복잡도를 부여받으며, 이는 더 높은 알고리즘 무작위성을 의미한다.
• 손실 없는 압축과 정규화된 BDM이라는 두 가지 Kolmogorov 복잡도 근사치는 네트워크 유형 전반에서 일관된 결과를 도출한다.
• 자기동형군의 크기와 그래프의 추정 알고리즘 복잡도 사이에 강한 상관관계가 관찰된다.
• 결과는 알고리즘 복잡도가 복잡한 네트워크의 생성 메커니즘을 식별하는 구분 가능한 측정치로 기능할 수 있음을 시사한다.
• 이 연구는 알고리즘 정보이론과 네트워크의 대칭성과 같은 군론적 성질 간의 연결 고리를 확립한다.