[논문 리뷰] Graph Optimization Perspective for Low-Depth Trotter-Suzuki Decomposition

Albert T. Schmitz, Nicolas P. D. Sawaya외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 52인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 NISQ 장치에서 양자 해밀토니안 시뮬레이션을 위한 트로터-수즈키 분해에서 회로 깊이를 최소화하기 위해 그래프 최적화 프레임워크인 파울리 프레임 그래프(Pauli Frame Graph, PFG)를 도입한다. 게이트 시퀀스를 클리포드 연산이 가능한 파울리 항을 나타내는 노드를 이동하는 제약 조건이 있는 경로로 모델링함으로써, 기존 방법에 비해 이중 큐비트 게이트 수와 깊이를 최대 한 계급까지 감소시키며, 병렬 처리도 효율적으로 지원한다.

ABSTRACT

Hamiltonian simulation represents an important module in a large class of quantum algorithms and simulations such as quantum machine learning, quantum linear algebra methods, and modeling for physics, material science and chemistry. One of the most prominent methods for realizing the time-evolution unitary is via the Trotter-Suzuki decomposition. However, there is a large class of possible decompositions for the infinitesimal time-evolution operator as the order in which the Hamiltonian terms are implemented is arbitrary. We introduce a novel perspective for generating a low-depth Trotter-Suzuki decomposition assuming the standard Clifford+RZ gate set by adapting ideas from quantum error correction. We map a given Trotter-Suzuki decomposition to a constrained path on a graph which we deem the Pauli Frame Graph (PFG). Each node of the PFG represents the set of possible Hamiltonian terms currently available to be applied, Clifford operations represent a move from one node to another, and so the graph distance represents the gate cost of implementing the decomposition. The problem of finding the optimal decomposition is then equivalent to solving a problem similar to the traveling salesman. Though this is an NP-hard problem, we demonstrate the simplest heuristic, greedy search, and compare the resulting two-qubit gate count and circuit depth to more standard methods for a large class of scientifically relevant Hamiltonians, both fermionic and bosonic, found in chemical, vibrational and condensed matter problems which naturally scale. We find in nearly every case we study, the resulting depth and two-qubit gate counts are less than those provided by standard methods, by as much as an order of magnitude. We also find the method is efficient and amenable to parallelization, making the method scalable for problems of real interest.

연구 동기 및 목표

• NISQ 장치에서 양자 해밀토니안 시뮬레이션을 위한 트로터-수즈키 분해에서 회로 깊이와 이중 큐비트 게이트 수를 줄이기 위해.
• 국소 패턴 매칭에 의존하는 기존 최적화 방법의 한계를 극복하여 로테이션 순서를 최적화할 수 있도록 하기 위해.
• 사용자가 지정한 로테이션 순서에 의존하지 않는 일반 목적의 확장 가능한 저깊이 분해 방법을 개발하기 위해.
• 대규모 양자 시뮬레이션을 위한 최적화 과정의 효율적 병렬 처리를 가능하게 하기 위해.
• 최적의 트로터-수즈키 분해 문제를 여행하는 판매원 문제와 유사한 그래프 순회 문제로 매핑하여 히우리스틱 탐색으로 해결 가능하도록 하기 위해.

제안 방법

• 각 노드가 적용 가능한 파울리 항의 집합을 나타내고, 간선이 이러한 집합 간 전이를 나타내는 파울리 프레임 그래프(Pauli Frame Graph, PFG)를 구성한다.
• PFG 내의 각 경로는 유효한 로테이션 및 클리포드 게이트 시퀀스에 대응하며, 그래프 거리는 분해의 총 게이트 비용을 나타낸다.
• 최적의 분해를 찾는 문제는 트로터-수즈키 문제와 유사한 제약 조건이 있는 최단 경로 문제로 재정의되며, 여행하는 판매원 문제와 유사하다.
• 낮은 비용의 경로를 탐색하기 위해 탐욕적 탐색 히우리스틱을 적용하며, 지원 최소화 및 병렬 처리 최대화를 우선시하는 새로운 초초기화 탐욕적 변형을 사용한다.
• 파울리 항을 프로세스 간에 분배하고, 스케줄 및 최소 비용 후보를 전역적으로 동기화하여 일致성과 큐비트 충돌을 방지함으로써 병렬 처리를 달성한다.
• 토플리 유사 얽힘(Toffoli-like entangling, TQE) 게이트 선택을 유도하기 위해 지원 감소, 게이트 수, 병렬 처리 수당을 포함하는 비용 함수를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프 이론 기반 프레임워크는 표준 최적화 방법을 초월하여 트로터-수즈키 분해의 깊이와 이중 큐비트 게이트 수를 줄일 수 있는가?
• RQ2 파울리 프레임 그래프에서 탐욕적 탐색 전략이 다양한 양자 해밀토니안에 대해 회로 비용을 최소화하는 데 얼마나 효과적인가?
• RQ3 해결 품질을 희생시키지 않고 최적화 과정을 얼마나 병렬화할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 화학, 진동, 양자물리계 및 고체계 시스템을 포함한 광범위한 물리적으로 관련된 해밀토니안에서 의미 있는 향상을 달성하는가?
• RQ5 이 방법은 최적의 로테이션 순서를 사전에 알지 못하더라도 임의의 파울리 분해에 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 테스트된 해밀토니안에 대해 표준 트로터-수즈키 분해 방법에 비해 회로 깊이와 이중 큐비트 게이트 수를 최대 한 계급까지 감소시켰다.
• 화학, 진동, 고체계 시스템을 포함한 거의 모든 테스트 케이스에서 깊이와 게이트 수 모두에서 베이스라인 방법을 능가했다.
• 초초기화 탐욕적 알고리즘은 효과적인 작업 분배와 동기화 덕분에 이상적 성능에 가까운 빠른 속도 향상을 달성했으며, 병렬 처리를 통해 빠른 실행을 실현했다.
• 자연스럽게 스케일링되는 상호작용을 포함한 다양한 문제 유형에 대해 강건하게 작동하여 실제 양자 시뮬레이션에 광범위하게 적용 가능함을 입증했다.
• 그래프 기반 공식화 덕분에 기존 최적화 도구가 접근할 수 없는 로테이션 순서 조합을 체계적으로 탐색할 수 있었으며, 이전에 발견되지 않은 최적화 기회를 발견했다.
• 전역 비용 함수에 병렬 처리 수당을 통합함으로써 병렬 실행에서 더 나은 로드 밸런싱과 전체 런타임 단축을 달성했다.