[논문 리뷰] Graph Pricing Problem on Bounded Treewidth, Bounded Genus and k-partite graphs

Parinya Chalermsook, Shiva Kintali외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 08.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 제한된 트리 폭, 제한된 기하학적 종수 및 k-분할 그래프에서 그래프 가격 설정 문제(GVP)에 대한 완전 다항 시간 근사 스킴(FPTAS)을 제시하고, 이를 확장한다. 트리 분해에 기반한 동적 프로그래밍과 셔레일리-애덤스 계층을 활용하여 정수 간격을 줄이고, 제한된 트리 폭 및 기하학적 종수 그래프에 대해 (1+ε)-근사값을 달성하며, 최대 차수 4인 그래프에 대해서는 2-근사값을 제공한다.

ABSTRACT

Consider the following problem. A seller has infinite copies of $n$ products represented by nodes in a graph. There are $m$ consumers, each has a budget and wants to buy two products. Consumers are represented by weighted edges. Given the prices of products, each consumer will buy both products she wants, at the given price, if she can afford to. Our objective is to help the seller price the products to maximize her profit. This problem is called {\em graph vertex pricing} ({\sf GVP}) problem and has resisted several recent attempts despite its current simple solution. This motivates the study of this problem on special classes of graphs. In this paper, we study this problem on a large class of graphs such as graphs with bounded treewidth, bounded genus and $k$-partite graphs. We show that there exists an {\sf FPTAS} for {\sf GVP} on graphs with bounded treewidth. This result is also extended to an {\sf FPTAS} for the more general {\em single-minded pricing} problem. On bounded genus graphs we present a {\sf PTAS} and show that {\sf GVP} is {\sf NP}-hard even on planar graphs. We study the Sherali-Adams hierarchy applied to a natural Integer Program formulation that $(1+ε)$-approximates the optimal solution of {\sf GVP}. Sherali-Adams hierarchy has gained much interest recently as a possible approach to develop new approximation algorithms. We show that, when the input graph has bounded treewidth or bounded genus, applying a constant number of rounds of Sherali-Adams hierarchy makes the integrality gap of this natural {\sf LP} arbitrarily small, thus giving a $(1+ε)$-approximate solution to the original {\sf GVP} instance. On $k$-partite graphs, we present a constant-factor approximation algorithm. We further improve the approximation factors for paths, cycles and graphs with degree at most three.

연구 동기 및 목표

• 제한된 트리 폭, 제한된 기하학적 종수 및 k-분할 그래프와 같은 특수 그래프 클래스에서 그래프 가격 설정 문제(GVP)에 대한 효율적인 근사 알고리즘을 개발하는 것.
• 입력 그래프의 조합적 구조가 GVP의 근사 가능성에 미치는 영향을 이해하는 것.
• 자연스러운 선형계획형식에 대한 GVP의 정수 간격을 줄이는 데에 셔레일리-애덤스 계층의 효과를 분석하는 것.
• GVP가 평면 그래프(제한된 기하학적 종수의 부분집합)에서도 여전히 NP-난이도임을 보여주는 하드네스 결과를 수립하는 것.
• 경로, 사이클 및 최대 차수 ≤4인 그래프와 같은 특수 하위사례에 대해 근사 인자를 향상시키는 것.

제안 방법

• 제한된 트리 폭 그래프에서 GVP에 대한 FPTAS를 달성하기 위해 트리 분해에 기반한 동적 프로그래밍 알고리즘을 설계한다.
• 베이커의 기법과 엔프스타인의 기법을 활용하여 평면 및 제한된 기하학적 종수 그래프 분해 기법을 적용해 FPTAS를 제한된 기하학적 종수 그래프로 확장한다.
• GVP의 자연스러운 정수계획형식에 셔레일리-애덤스 계층을 적용하여, 일정 수의 라운드 이후 제한된 트리 폭 및 기하학적 종수 그래프에서 정수 간격이 (1+ε)로 감소함을 보여준다.
• 모든 간선이 양의 수익 기여를 하는 경우를 고려해 간선을 두 개의 최대 차수 2인 부분그래프(경로 및 사이클)로 분할하는 분해 기법을 사용하여, 각 부분그래프에서 다항시간 최적해를 구하고 이를 조합하여 최대 차수 4인 그래프에서 2-근사값을 도출한다.
• 모든 간선이 양의 수익을 기여할 때 최적 가격을 계산하기 위한 선형계획형식(LP_opt)을 제시하고, 경로 및 사이클에 대해 동적 프로그래밍을 사용하여 해를 구한다.
• 사이클에 대해 재귀 알고리즘을 유도하기 위해 각 간선을 제거하고 얻어지는 경로를 해결한 후 최대 수익을 취한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제한된 트리 폭 그래프에서 그래프 가격 설정 문제에 대해 FPTAS를 설계할 수 있는가?
• RQ2 셔레일리-애덤스 계층은 제한된 트리 폭 및 제한된 기하학적 종수 그래프에서 GVP의 자연스러운 선형계획형식의 정수 간격을 효과적으로 줄이는가?
• RQ3 k-분할 그래프에서 GVP의 근사 가능성은 어떠한가? 특히 경로 및 사이클과 같은 특수 하위사례에서는 더 나은 근사 인자를 달성할 수 있는가?
• RQ4 GVP는 평면 그래프에서 NP-난이도인가? (제한된 기하학적 종수의 부분집합이다.)
• RQ5 간선 분해 및 부분그래프 최적화를 통해 최대 차수 4인 그래프에서 2-근사 알고리즘을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 제한된 트리 폭 그래프에서 그래프 가격 설정 문제에 대해 FPTAS가 존재하며, 이는 트리 분해에 기반한 동적 프로그래밍을 통해 달성된다.
• 셔레일리-애덤스 계층은 제한된 트리 폭 및 제한된 기하학적 종수 그래프에서 자연스러운 선형계획형식의 정수 간격을 일정 수의 라운드 이후 (1+ε)로 줄인다.
• 제한된 기하학적 종수 그래프에서 GVP에 대해 PTAS를 개발하였으며, 문제의 NP-난이도가 평면 그래프에서도 성립함을 증명하였다.
• 최대 차수 4인 그래프에 대해 간선을 두 개의 최대 차수 2인 부분그래프로 분할하여 2-근사 알고리즘을 제시하였다.
• 경로 및 사이클에 대해 다항시간 알고리즘을 설계하였으며, 최적해는 선형계획형식 또는 동적 프로그래밍을 통해 계산된다.
• 최대 차수 3인 그래프에 대해서는 αk/(k−1) < 4인 상수 인자 근사값을 달성하였으며, 일반 그래프의 기준보다 향상된 결과를 얻었다.