[논문 리뷰] Graph Product Structure for h-Framed Graphs

Michael A. Bekos, Giordano Da Lozzo외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 01.

Advanced Graph Theory Research인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 1-평면, 최적 2-평면, k-맵 그래프를 포함하는 h-형식 그래프에 대해 새로운 그래프 곱 구조 정리(구조 정리)를 수립한다. 이는 경로, 테이버위드가 3 이하인 평면 그래프, 크기가 $3\lfloor h/2\rfloor + \lfloor h/3\rfloor - 1$인 클리크의 강한 곱의 부분그래프임을 보여주며, 이로 인해 이러한 그래프 클래스에 대해 큐 수, 비반복 색칠 수, p-중앙 색칠 수, 트윈-폭발 너비에 대해 h에 대해 선형인 상한을 획기적으로 향상시킨다. 구조적 알고리즘을 통해 효율적인 분해가 가능하다.

ABSTRACT

Graph product structure theory expresses certain graphs as subgraphs of the strong product of much simpler graphs. In particular, an elegant formulation for the corresponding structural theorems involves the strong product of a path and of a bounded treewidth graph, and allows to lift combinatorial results for bounded treewidth graphs to graph classes for which the product structure holds, such as to planar graphs [Dujmović et al., J. ACM, 67(4), 22:1-38, 2020]. In this paper, we join the search for extensions of this powerful tool beyond planarity by considering the h-framed graphs, a graph class that includes 1-planar, optimal 2-planar, and k-map graphs (for appropriate values of h). We establish a graph product structure theorem for h-framed graphs stating that the graphs in this class are subgraphs of the strong product of a path, of a planar graph of treewidth at most 3, and of a clique of size $3\lfloor h/2 floor +\lfloor h/3 floor -1$. This allows us to improve over the previous structural theorems for 1-planar and k-map graphs. Our results constitute significant progress over the previous bounds on the queue number, non-repetitive chromatic number, and p-centered chromatic number of these graph classes, e.g., we lower the currently best upper bound on the queue number of 1-planar graphs and k-map graphs from 495 to 81 and from 32225k(k-3) to 61k, respectively. We also employ the product structure machinery to improve the current upper bounds of twin-width of planar and 1-planar graphs from 183 to 37, and from O(1) to 80, respectively. All our structural results are constructive and yield efficient algorithms to obtain the corresponding decompositions.

연구 동기 및 목표

• 평면 그래프를 초월해 h-형식 그래프, 즉 1-평면, 최적 2-평면, k-맵 그래프를 포함하는 클래스에 그래프 곱 구조 이론을 확장하는 것.
• h-형식 그래프를 경로, 테이버위드 ≤3인 평면 그래프, 크기가 $3\lfloor h/2\rfloor + \lfloor h/3\rfloor - 1$인 클리크의 강한 곱의 부분그래프로 더 타이트한 구조적 분해를 확립하는 것.
• 큐 수, 비반복 색칠 수, p-중앙 색칠 수, 트윈-폭발 너비와 같은 핵심 그래프 매개변수에 대해 h에 대해 선형인 상한을 도출하는 것.
• 분해와 매개변수 상한을 효율적으로 계산할 수 있는 구조적 알고리즘을 제공하는 것.

제안 방법

• h-형식 그래프의 정의를 활용: 교차하지 않는 간선이 면의 크기가 ≤ h인 이중연결 평면 스패닝 그래프를 이루는 그림을 가진 그래프.
• 경로와 테이버위드 3인 평면 그래프에 의해 이끌리는 층상 분해에 기반한 재귀적 수축 절차를 적용.
• 수축 과정 중 빨간 간선 추적을 통해 최대 빨간 간선 차수를 제한하여, 결과로 나오는 구조가 강한 곱 형태에 적합하도록 보장.
• 경로의 $\lfloor h/2\rfloor$ 제곱을 사용한 대안적 공식화를 도입하여 클리크 크기를 $\max(3, h - 2)$로 감소.
• 강한 곱 구조를 적용하여, 테이버위드가 유계인 그래프에서 유도된 결과를 옮겨서 조합적 매개변수에 대한 상한을 유도.
• 2차 시간 복잡도를 가지며 구조적 알고리즘을 제공하여 실제 분해와 상한 계산이 가능하도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프 곱 구조 정리가 평면 그래프를 초월해 1-평면 및 k-평면 그래프의 초수인 h-형식 그래프로 확장될 수 있는가?
• RQ2 h-형식 그래프의 강한 곱 분해에서 테이버위드와 클리크 크기에 대해 가능한 가장 타이트한 상한은 무엇인가?
• RQ3 이 곱 구조를 통해 큐 수, 색칠 수, 트윈-폭발 너비에 대해 h에 대해 선형인 상한을 도출할 수 있는가?
• RQ4 경로를 더 높은 거듭제곱의 경로로 대체함으로써 곱 분해의 클리크 크기를 줄일 수 있는가?
• RQ5 알고리즘적 응용을 위해 구조적 분해를 효율적이고 구조적으로 만들 수 있는가?

주요 결과

• 1-평면 및 최적 2-평면 그래프의 큐 수는 기존의 495와 3267에서 새로운 곱 구조를 통해 각각 81으로 향상되었다.
• k-맵 그래프의 큐 수는 기존의 $32225k(k-3)$에서 $61k$로 감소하여 k에 대해 선형 의존성을 확보하였다.
• k-맵 그래프의 비반복 색칠 수는 기존의 $21 \cdot 4^{10} \cdot k(k-3)$에서 $256(3k + \lfloor 2k/3 \rfloor - 1)$로 향상되었으며, 1-평면 그래프의 경우 $30 \cdot 4^4$에서 $6 \cdot 4^4$로 개선되었다.
• k-맵 그래프의 p-중앙 색칠 수는 기존의 $O(k^2 p^{10})$에서 $O(k p^3 \log p)$로 향상되었고, 1-평면 그래프의 경우 $O(p^4)$에서 $O(p^3 \log p)$로 개선되었다.
• 평면 그래프의 트윈-폭발 너비는 기존의 183에서 37로 향상되었으며, 1-평면 및 최적 2-평면 그래프의 경우 기존의 $O(1)$에서 80으로 개선되었다.
• h-형식 그래프의 트윈-폭발 너비는 h에 대해 선형 함수로 유계이지만, 이전의 상한은 $O(h^2)$에 대해 지수적 이었다.