[논문 리뷰] Graph Similarity and Homomorphism Densities

Jan Böker|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 29.

Graph theory and applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 분수 이somorphism과 호모모르피 밀도를 바탕으로 다항식 시간에 계산 가능한 그래프 유사도 측정법으로 트리 거리와 경로 거리를 도입한다. 두 그래프가 이 거리 기준으로 유사할 조건은 그들의 트리 또는 경로 호모모르피 밀도가 가까울 때이고, 이를 통해 그래프론 이론과 함수해석학 기법을 활용해 라보스 타입의 대응관계를 정확한 경우에서 근사적인 경우로 확장한다.

ABSTRACT

We introduce the tree distance, a new distance measure on graphs. The tree distance can be computed in polynomial time with standard methods from convex optimization. It is based on the notion of fractional isomorphism, a characterization based on a natural system of linear equations whose integer solutions correspond to graph isomorphism. By results of Tinhofer (1986, 1991) and Dvo\v{r}\'ak (2010), two graphs G and H are fractionally isomorphic if and only if, for every tree T, the number of homomorphisms from T to G equals the corresponding number from T to H, which means that the tree distance of G and H is zero. Our main result is that this correspondence between the equivalence relations "fractional isomorphism" and "equal tree homomorphism densities" can be extended to a correspondence between the associated distance measures. Our result is inspired by a similar result due to Lov\'asz and Szegedy (2006) and Borgs, Chayes, Lov\'asz, S\'os, and Vesztergombi (2008) that connects the cut distance of graphs to their homomorphism densities (over all graphs), which is a fundamental theorem in the theory of graph limits. We also introduce the path distance of graphs and take the corresponding result of Dell, Grohe, and Rattan (2018) for exact path homomorphism counts to an approximate level. Our results answer an open question of Grohe (2020). We establish our main results by generalizing our definitions to graphons as this allows us to apply techniques from functional analysis. We prove the fairly general statement that, for every "reasonably" defined graphon pseudometric, an exact correspondence to homomorphism densities can be turned into an approximate one. We also provide an example of a distance measure that violates this reasonableness condition. This incidentally answers an open question of Greb\'ik and Rocha (2021).

연구 동기 및 목표

• 호모모르피 수를 기반으로 한 그래프 유사도 측정법의 이론적 기반을 구축하여, 그래프에 대한 기계학습 임bedding에 대한 이해 부족을 메우는 것.
• 그로헤(2020)가 제기한 열린 문제를 해결: 분수 이somorphism에서 유도된 행렬 노름 기반 거리(예: 분수 이somorphism 거리)가 근사적으로 호모모르피 밀도와 대응되는가?
• 그래프론과 함수해석학을 활용해 정확한 등가성(분수 이somorphism)과 호모모르피 밀도 사이의 대응관계를 근사 거리로 일반화하는 것.
• 그레비크와 로카(2021)가 제기한 열린 문제에 답: 특정 그래프론 집합의 닫힘 여부를 밝혀내며, 몫 그래프론의 집합이 그래프론 공간에 밀도가 있음을 보여준다.

제안 방법

• 분수 이somorphism 체계에서 유도된 이중 스토하스틱 행렬의 행렬 노름 거리의 정규화된 변형으로 트리 거리 δT를 정의한다.
• 경로 호모모르피 수에 대해 유사하게 경로 거리 δP를 도입하며, 델, 그로헤, 라탄(2018)의 결과를 근사적 설정으로 일반화한다.
• 그래프론 준거리측도를 확장하여 함수해석학 기법을 적용할 수 있도록 하며, 정확한 호모모르피 밀도 대응관계를 가진 '합리적으로 정의된' 모든 준거리측도는 근사적 대응관계도 만족시킴을 증명한다.
• 그래프론 공간의 컴팩트성과 역수계수 보조정리를 활용해 준거리측도 거리와 호모모르피 밀도 차이 사이의 정량적 경계를 유도한다.
• 색 거리 δC□에 대한 수계수 보조정리를 증명하여, 트리 T에 대해 |t(T, G) − t(T, H)| ≤ |E(T)| · δC□(G, H) 를 보인다.
• 명시적인 그래프 수열을 구성하여 δT□와 δC□가 위상적으로 다름을 보이며, δT□가 δC□보다 엄격히 더 약한 거리임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 이somorphism과 동일한 트리 호모모르피 수의 대응관계를 정확한 경우에서 근사적인 경우로 확장할 수 있는가?
• RQ2 트리 및 경로에 대해 그래프 거리 측정법(예: δT)과 호모모르피 밀도 사이에 정량적 관계가 존재하는가?
• RQ3 그레비크와 로카가 제기한 바와 같이, 집합 {W/C(W) | W ∈ W₀} 는 그래프론 공간의 닫힌 부분집합인가?
• RQ4 그래프론 이론을 활용해 유계 트리폭 또는 경로 유사 구조를 기반으로 한 거리 측정법을 일반화할 수 있는가?
• RQ5 트리 거리 δT는 ε-균형 분할이나 색깔 정렬과 같은 구조적 성질을 어느 정도 반영하는가?

주요 결과

• 트리 거리 δT는 핵심 대응관계를 만족한다: 두 그래프가 δT 기준으로 가까운 것은 그들의 트리 호모모르피 밀도가 가까울 때이다.
• 색 거리에 대한 정량적 수계수 보조정리가 확립되었으며, |t(T, G) − t(T, H)| ≤ |E(T)| · δC□(G, H) 를 통해 δC□가 작을수록 밀도 차이도 작아짐을 보였다.
• 트리 거리 δT□는 색 거리 δC□보다 엄격히 더 약한 거리이며, δT□(Gn, K3) → 0 이지만 δC□(Gn, K3) ≥ 1/9 임을 보여주는 반례로 입증되었다.
• 집합 {WG/CG∞ | G 그래프} 는 그래프론 공간 W₀ 내에 밀도가 있음을 보여, 그레비크와 로카(2021)의 닫힘 여부에 대한 질문에 대해 否정적인 답변을 제시하였다.
• 임의의 그래프론 W와 ε > 0 에 대해, O(1/ε) 개의 정점을 가진 그래프 G 가 존재하여 δ□(G/CG∞, W) ≤ 3·v(H)/n + 1/4·(v(H)/n)² 를 만족함을 보여, 몫 그래프를 통한 효과적인 근사가 가능함을 보였다.
• 경로에 대한 정량적 역수계수 보조정리를 증명하였으며, 일반 그래프 수계수 보조정리에서 사용된 인자 e(F) 를 그대로 사용하였다. 그러나 트리에 대한 유사 결과는 아직 열려 있으며 도전적인 연구 방향으로 남아 있다.