[논문 리뷰] Graphical Fourier Theory and the Cost of Quantum Addition

Stach Kuijpers, John van de Wetering외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 11인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 반부분 부울 함수의 푸리에 변환을 통해 ZX- 및 ZH-계산법 사이의 다이어그램적 연결 고리로 그래픽 푸리에 이론을 도입한다. 이를 통해 제어된-파울리 게이트(예: ZH)를 표현하는 다이어그램과 지수화된 파울리 게이트(예: ZX)를 표현하는 다이어그램 간의 체계적 번역을 가능하게 한다. 주요 기여는 푸리에 전개 규칙과 단계 상쇄 기반의 일반화된 자동 최적화 기법에 기초한 다이어그램적 방법으로, 토플리 및 양자 애더 회로의 T-게이트 수를 최대 50%까지 줄이는 데 성공한다.

ABSTRACT

The ZX-calculus is a convenient formalism for expressing and reasoning about quantum circuits at a low level, whereas the recently-proposed ZH-calculus yields convenient expressions of mid-level quantum gates such as Toffoli and CCZ. In this paper, we will show that the two calculi are linked by Fourier transform. In particular, we will derive new Fourier expansion rules using the ZH-calculus, and show that we can straightforwardly pass between ZH- and ZX-diagrams using them. Furthermore, we demonstrate that the graphical Fourier expansion of a ZH normal-form corresponds to the standard Fourier transform of a semi-Boolean function. As an illustration of the calculational power of this technique, we then show that several tricks for reducing the T-gate cost of Toffoli circuits, which include for instance quantum adders, can be derived using graphical Fourier theory and straightforwardly generalized to more qubits.

연구 동기 및 목표

• 반부분 부울 함수의 푸리에 변환을 통해 ZX-계산법과 ZH-계산법 사이의 공식적 연결 고리를 수립한다.
• 제어된-파울리 게이트를 표현하는 ZH-다이어그램과 파리티-단계 게이트를 표현하는 ZX-다이어그램 간의 다이어그램적 번역 방법을 개발한다.
• 이 프레임워크를 활용하여 토플리 및 양자 애더 회로에 대한 기존의 T-게이트 감소 기법을 체계적으로 유도하고 일반화한다.
• 푸리에 스펙트럼을 ZX/ZH 다이어그램에 계수로 코딩함으로써 자동화된 회로 최적화를 가능하게 하여 낮은 T-게이트 수의 구현을 가능하게 한다.

제안 방법

• 기본 함수의 직교 기저인 파리티 함수를 사용하여 ZH-계산법에서 새로운 푸리에 전개 규칙를 유도함으로써 ZH-다이어그램과 ZX-다이어그램 간의 변환을 가능하게 한다.
• n-qubit 단계 다항식과 그 푸리에 스펙트럼을 인덱스가 부여된 !-박스 표기법을 사용하여 그래픽적으로 표현한다.
• 반부분 부울 함수의 푸리에 스펙트럼에 해당하는 계수를 갖는 푸리에 변환을 적용하여 ZH-다이어그램과 ZX-다이어그램 간의 상호 변환을 수행한다.
• 푸리에 변환된 다이어그램에서의 단계 상쇄를 활용하여 T-게이트 수를 줄이며, 특히 토플리 게이트의 계산-재계산 쌍에서 효과적이다.
• 예를 들어, 애너실라가 있는 4-T-게이트 토플리 게이트와 같은 기존 최적화 기법을 푸리에 변환과 제어된-파울리 게이트 재작성 기법을 사용하여 재사용 가능한 프레임워크로 일반화한다.
• 측정 결과를 처리하기 위해 후선별(post-selection)과 클리포드 게이트(예: CZ)를 통한 보정을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ZH-계산법은 어떻게 단계 다항식을 표현하고 다루는가? 이를 통해 ZX-계산법으로의 체계적 번역이 가능하게 되는가?
• RQ2 반부분 부울 함수의 다이어그램적 해석에서 푸리에 변환은 양자 회로 다이어그램의 맥락에서 어떻게 해석되는가?
• RQ3 기존의 토플리 및 애더 회로에 대한 T-게이트 감소 기법들이 이 그래픽 푸리에 프레임워크를 통해 도출되고 일반화될 수 있는가?
• RQ4 푸리에 스펙트럼 내의 단계 상쇄는 양자 회로에서 T-게이트 감소와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이 방법은 다중 제어 토플리 게이트에 대해 비클리포드 자원 비용을 줄이는 데 확장 가능할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 반부분 부울 함수의 푸리에 변환과 ZH-다이어그램 및 ZX-다이어그램 간의 번역 사이에 직접적인 대응 관계를 수립하며, 스펙트럼의 계수가 다이어그램 내 단계 값과 정확히 일치함을 보여준다.
• 1개의 애너실라 큐비트를 사용하는 4-T-게이트 토플리 게이트의 구현이 유도되었으며, 이를 일반화하여 n-제어 토플리 게이트에 대해 4(n−1)개의 Z(π/2n) 회전과 단일 애너실라 큐비트를 사용하는 형태로 일반화하였다.
• 계산-재계산 쌍의 토플리 게이트를 단순화함으로써 양자 애더 회로의 T-게이트 비용을 50%까지 줄일 수 있었으며, 8개의 T-게이트를 4개로 감소시켰다.
• 푸리에 변환된 다이어그램에서의 단계 상쇄는 체계적인 단순화를 가능하게 하며, 후선별된 애너실라 상태의 보정은 단지 클리포드 연산(예: CZ 게이트)으로도 충분하다.
• 이 방법은 기존 최적화 기법을 재사용 가능한 프레임워크로 일반화하여, PyZX와 같은 자동화 도구에의 통합 가능성을 시사한다.
• 이 프레임워크를 통해 ZX- 및 ZH-다이어그램적 추론을 조합함으로써 기존에 알려지지 않은 토플리 회로에 대한 항등식을 도출할 수 있었으며, 특히 비클리포드 자원 최소화의 맥락에서 유의미한 결과를 얻었다.