[논문 리뷰] Graphical Modeling for Multivariate Hawkes Processes with Nonparametric Link Functions

Michael Eichler, Rainer Dahlhaus외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 22.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 시간 이산화된 점과정 증분과 최소 제곱 회귀를 사용하여 다변량 하크스 과정에 대한 비모수적 추정기법을 제안한다. 이 방법은 그랑저 인과성 구조를 표현하는 링크 함수를 일致적으로 추정하며, 관측 시간이 증가하고 이산화 단위 크기가 감소함에 따라 이론적 일致성이 입증된다. 이는 점과정 자료에서의 인과 추론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Hawkes (1971) introduced a powerful multivariate point process model of mutually exciting processes to explain causal structure in data. In this paper it is shown that the Granger causality structure of such processes is fully encoded in the corresponding link functions of the model. A new nonparametric estimator of the link functions based on a time-discretized version of the point process is introduced by using an infinite order autoregression. Consistency of the new estimator is derived. The estimator is applied to simulated data and to neural spike train data from the spinal dorsal horn of a rat.

연구 동기 및 목표

• 그랑저 인과성과 그래픽 모델을 활용하여 다변량 하크스 과정에서의 인과성 구조 학습 프레임워크를 구축하기 위해.
• 기존의 비모수적 추정 방법은 계산적으로 비효율적이며 고속 인과성 학습에 부적합하다는 한계를 해결하기 위해.
• 시간 이산화된 증분과 최소 제곱 회귀를 사용하여 하크스 과정 링크 함수에 대한 단순하고 빠르며 일치하는 비모수적 추정기법을 개발하기 위해.
• 관측 간격이 증가하고 이산화 단위 크기가 감소함에 따라 제안된 추정기의 일치성을 증명하기 위해.
• 시뮬레이션 데이터와 랩의 척수 후각핵에서의 실제 신경 자극 기록 데이터에 대해 방법의 적용 가능성을 시연하기 위해.

제안 방법

• 다변량 점과정을 등간격 시간 박스로 이산화하고, 이러한 박스들 위에서 증분 과정을 정의하기 위해.
• 과거 증분들을 예측변수로 사용하여 이산화된 과정을 무한차수의 벡터 자기회귀 모형으로 모델링하기 위해.
• 이산화된 증분에 대한 최소 제곱 회귀를 통해 링크 함수를 추정하고, 회귀 계수를 하크스 커널의 비모수적 추정치로 간주하기 위해.
• 시간 이산화된 조건부 강도를 사용하여 원래 하크스 과정의 동역학을 근사하는 선형 회귀 모델을 유도하기 위해.
• 관측 창이 커지고 박자 크기가 줄어들면서 링크 함수 추정치의 추정 오차가 확률적으로 0으로 수렴함을 보여, 추정기의 일치성을 증명하기 위해.
• 시뮬레이션 데이터와 랩의 척수 후각핵에서의 신경 자극 기록 데이터에 대해 방법을 적용하여 성능을 검증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 이산화된 자료를 사용하여 다변량 하크스 과정의 그랑저 인과성 구조는 어떻게 비모수적으로 표현하고 추정할 수 있는가?
• RQ2 복잡한 수치 최적화를 피하면서도 단순하고 빠르며 일致하는 비모수적 추정기법을 하크스 과정 링크 함수에 대해 개발할 수 있는가?
• RQ3 관측 간격이 증가하고 시간 박자 크기가 감소함에 따라 제안된 이산화 기반 추정기의 이론적 일치성 행동은 어떠한가?
• RQ4 계산 효율성과 정확성 측면에서 기존의 비모수적 추정 기법과 비교했을 때, 제안된 방법은 어떤가?
• RQ5 이 방법은 실제 신경 자극 기록 자료에서 신뢰성 있게 인과적 의존성을 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 시간 이산화된 증분과 최소 제곱 회귀를 기반으로 한 제안된 비모수적 추정기는 관측 시간이 증가하고 박자 크기가 감소하는 공동 극한 하에서 일致성을 보인다.
• 링크 함수 추정치의 추정 오차는 확률적으로 0으로 수렴하며, 수렴 속도는 진짜 링크 함수의 매끄러움 정도와 박자 크기에 따라 달라진다.
• 이 방법은 하크스 과정 링크 함수에 포함된 그랑저 인과성 구조를 일치적으로 추정할 수 있으며, 이는 점과정 자료로부터의 인과 추론을 가능하게 한다.
• 이 추정기는 계산적으로 효율적이며 확장 가능하여 반복적인 모델 피팅이 필요한 인과성 학습 알고리즘에 적합하다.
• 시뮬레이션 데이터와 랩의 척수 후각핵에서의 신경 자극 기록 자료에 대한 실증 결과는 이 방법이 알려진 인과적 구조를 복원하고 의미 있는 의존성을 탐지할 수 있음을 보여준다.
• 이론적 분석을 통해 정규성 조건 하에서 추정 오차의 편향과 분산 항목이 사라짐을 확인하였으며, 관측 창이 커지고 박자 크기가 줄어들면서 지배적인 오차 항목은 oP(1)의 순서가 된다.