[논문 리뷰] Graphs and complexes of lattices

Sam Hughes|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 28.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 35인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유니폼하고 비유니폼 라티스가 CAT(0) 공간의 곱에 작용하는 데 사용할 수 있는 그래프와 격자 복합체를 조합론적 프레임워크로 도입한다. 특히 $\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times T$와 직각 빌딩의 곱에서의 라티스를 연구한다. 이는 이러한 라티스가 $H$-라티스의 그래프로 분해됨을 보여주는 구조 정리와, $C^*$-단순성에 의한 유니폼 $(\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times T)$-라티스의 특성화, 그리고 이러한 곱에서 비잔성적이고 비이중성인 라티스의 구축을 포함한다.

ABSTRACT

We study lattices acting on $\mathrm{CAT}(0)$ spaces via their commensurated subgroups. To do this we introduce the notions of a graph of lattices and a complex of lattices giving graph and complex of group splittings of $\mathrm{CAT}(0)$ lattices. Using this framework we characterise irreducible uniform $(\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n) imes T)$-lattices by $C^\ast$-simplicity and give a necessary condition for lattices in products with a Euclidean factor to be biautomatic. We also construct non-residually finite uniform lattices acting on arbitrary products of right-angled buildings and non-biautomatic lattices acting on the product of $\mathbb{E}^n$ and a right-angled building.

연구 동기 및 목표

• 비가역 CAT(0) 공간의 곱에서 라티스를 연구하기 위한 조합론적 프레임워크를 개발한다. 특히 유클리드 성분이 포함된 경우를 중심으로 한다.
• 알제브라적으로 비가역인 유니폼 라티스를 $C^*$-단순성에 의해 $\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times T$에서 특성화한다.
• $H$-라티스의 그래프가 $(H\times T)$-라티스를 유도하기 위한 필요 및 충분 조건을 제공한다.
• $\mathbb{E}^n$과 직각 빌딩의 곱에서 비잔성적이고 비이중성인 라티스를 구축한다.
• 트리 대신 고차원 CAT(0) 다면체 복합체를 사용하여 라티스 복합체 이론을 확장한다.

제안 방법

• 지역 군이 $H$-라티스에 대해 유한-비-$H$-라티스와 동치이며, $H$로의 사상이 존재하는 군의 그래프로 라티스의 개념을 도입한다.
• 기저-세르 이론을 적용하며, 기저-세르 트리로 사용할 유모듈라, 비이산, 국소 유한한 트리 $\mathcal{T}$를 사용한다.
• 구조 정리(정리 3.3)를 적용하여, 균일한 $(H\times T)$-라티스가 국소 작용의 핵이 충실하게 작용하는 조건과 핵의 수렴 조건 하에서 유한한 $H$-라티스의 그래프로부터 유도됨을 보인다.
• 토머스의 함자를 사용하여 트리의 곱에서 직각 빌딩의 곱으로 라티스를 올리며, 비가역성과 비잔성적 성질을 유지한다.
• $\mathrm{Isom}(X)$와 $X$를 비가역 성분(유클리드 공간, 대칭 공간, 최소 CAT(0) 공간)로 분해하여 라티스의 연구를 성분 별로 축소한다.
• $C^*$-단순성 기준을 적용하여 $\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times T$에서의 비가역 유니폼 라티스를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 알제브라적으로 비가역인 유니폼 $(\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times T)$-라티스가 $C^*$-단순한가?
• RQ2 $H$-라티스의 그래프가 $(H\times T)$-라티스를 유도하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 $\mathbb{E}^n$과 직각 빌딩의 곱에서 비잔성적이고 비이중성인 라티스를 구축할 수 있는가?
• RQ4 트리에 대한 작용의 핵의 성질이 전반적인 라티스 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 $C^*$-단순성이 레리-미나시안 군 $\mathrm{LM}(A)$의 행렬 $A$에 의해 결정되는가?

주요 결과

• 균일한 $(H\times T)$-라티스는 기저-세르 트리 $\mathcal{T}$가 유모듈라, 비이산, 국소 유한하며, 국소 작용의 핵이 충실하게 작용하는 조건 하에서, 유한한 $H$-라티스의 그래프로 항상 유도된다.
• $H$-라티스의 그래프가 $(H\times T)$-라티스를 유도하기 위한 조건은 $\sum_{\sigma\in VA} \mu(A_\sigma)/|K_\sigma|$의 수렴성이다. 여기서 $K_\sigma$는 트리 $\mathcal{T}$에 대한 작용의 핵이다.
• $H$-라티스의 그래프의 기본군 $\Gamma$는 $X\times\mathcal{T}$와 준등장적이다. 여기서 $X$는 $\mathrm{CAT}(0)$ 공간이고 $\mathcal{T}$는 기저-세르 트리이다.
• 비잔성적, 알제브라적으로 비가역 라티스는 $\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times A$에서 존재한다. 여기서 $A$는 (T1)과 (T2) 조건을 만족하는 직각 빌딩의 자동화군이며, 토머스의 함자를 반복 적용하여 유도된다.
• 비이중성 라티스도 $\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times A$에서 존재한다. 이는 비이중성 라티스를 트리의 곱에서 유도한 예시를 구성함으로써 보여진다.
• 5각형 빌딩에 대한 작용의 핵 $\Delta$는 토크션-프리이며, 결과적으로 유도된 라티스는 비잔성적이며 두 성분으로의 사영이 비이산이다.