[논문 리뷰] Graphs and unicyclic graphs with extremal number of connected induced subgraphs

Audace A. V. Dossou-Olory|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 06.

Graph theory and applications참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연결 그래프와 유일순환그래프 중에서 연결된 유도 부분그래프의 수를 최적화하는 그래프를 특성화한다. 모든 $k$-정점 연결 유도 부분그래프에 대해 경로 그래프가 유일하게 최소화함을 증명하며, 최댓값은 최대 $ floor n/2 floor$개의 독립된 간선을 제거한 완전 그래프에서 달성된다. 결과는 이중성(duality)을 드러내는데, 연결된 유도 부분그래프를 최소화하는 그래프는 Wiener 지수를 최대화하고, 그 반대도 마찬가지이다.

ABSTRACT

Over all graphs (or unicyclic graphs) of a given order, we characterise those graphs that minimise or maximise the number of connected induced subgraphs. For each of these classes, we find that the graphs that minimise the number of connected induced subgraphs coincide with those that are known to maximise the Wiener index (the sum of the distances between all unordered pairs of vertices), and vice versa. For every $k$, we also determine the connected graphs that are extremal with respect to the number of $k$-vertex connected induced subgraphs. We show that, in contrast to the minimum which is uniquely realised by the path, the maximum value is attained by a rich class of connected graphs.

연구 동기 및 목표

• 순서 $n$인 연결 그래프 중에서 연결된 유도 부분그래프의 수를 최소화하거나 최대화하는 그래프를 규명하는 것.
• 나무에서의 극값 결과를 일반 연결 그래프와 유일순환그래프로 확장하는 것.
• 모든 $k \in \{3,4,\dots,n-1\}$에 대해 $k$-정점 연결 유도 부분그래프의 극값 구조를 특성화하는 것.
• 극값 부분그래프 수와 Wiener 지수(모든 쌍 간 거리의 합) 사이의 이중성 탐색.
• 연결 성분이 $r$ 개인 그래프로 극값 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 구조적 그래프 변환을 사용하여 그래프 간 부분그래프 수를 비교하며, 특히 부분나무를 별로로 교체하여 부분그래프 수를 증가시키는 방법.
• 나무에서 부분나무 수를 세는 데 알려진 결과를 적용하며, 특히 경로와 별이 극값임을 보여주는 정리 1을 활용.
• 유일순환그래프에서의 유도 부분그래프 수를 세기 위해 생성함수 유사 추론과 재귀적 수를 활용.
• 모순과 변환을 통한 증명: 비별 부분나무를 별로로 교체하면 연결된 유도 부분그래프의 수가 증가한다.
• 수정된 그래프에서 부분그래프 수를 계산하기 위해 공식 $N(G; S) = N(T_0) + N(T_2) + N(T_0)_{v_0}N(T_1)_{v_1} + N(T_2)_{v_2}N(T_1)_{v_1} + N(T_0)_{v_0}N(T_2)_{v_2}(1 + N(T_1)_{v_1})$ 를 사용.
• 제안 11과 정리 1을 활용하여 구조적 변화 후 부분그래프 수를 비교하며, 부분그래프 수에 대한 순수 증가를 보여주는 방법.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서 $n$인 연결 그래프 중에서 연결된 유도 부분그래프의 수를 최소화하는 그래프는 무엇이며, 그 최솟값은 얼마인가?
• RQ2 순서 $n$인 연결 그래프 중에서 연결된 유도 부분그래프의 수를 최대화하는 그래프는 무엇이며, 그 최댓값은 얼마인가?
• RQ3 모든 $k \in \{3,4,\dots,n-1\}$에 대해, 순서 $n$인 연결 그래프 중에서 $k$-정점 연결 유도 부분그래프의 수를 극값으로 가지는 그래프는 무엇인가?
• RQ4 연결된 유도 부분그래프의 극값 그래프는 Wiener 지수를 최대화하는 그래프와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 순서 $n > 5$인 유일순환그래프 중에서 연결된 유도 부분그래프의 수를 극값으로 가지는 그래프는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 순서 $n$인 연결 그래프 중에서 경로 그래프가 연결된 유도 부분그래프의 수를 유일하게 최소화하며, 그 수는 $\binom{n+1}{2}$개이다.
• 모든 $k \in \{3,4,\dots,n-1\}$에 대해, $n$-정점 경로 그래프가 $k$-정점 연결 유도 부분그래프의 수를 유일하게 최소화한다.
• 순서 $n$인 연결 그래프 중에서 $k$-정점 연결 유도 부분그래프의 수가 최대가 되는 것은, 완전 그래프 $K_n$에서 $l \leq \lfloor n/2 \rfloor$개의 독립된 간선을 제거한 모든 그래프에서 달성된다.
• 순서 $n > 5$인 유일순환그래프 중에서, 토글러 그래프 $G_{3,n-3}$가 연결된 유도 부분그래프의 수를 유일하게 최소화한다.
• 순서 $n > 5$인 유일순환그래프 중에서, $n$-정점 별의 두 잎자리에 간선 하나를 추가한 그래프가 연결된 유도 부분그래프의 수를 유일하게 최대화한다.
• 이중성 존재: 연결된 유도 부분그래프를 최소화하는 그래프는 Wiener 지수를 최대화하고, 그 반대도 마찬가지이며, 이는 연구된 모든 그래프 가족에 대해 성립한다.