[논문 리뷰] Graphs in perturbation theory: Algebraic structure and asymptotics

Michael Borinsky|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 05.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 7인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 피카르 다이어그램의 호프 대수적 구조를 일반적인 그래프로 확장하고, 점근적 분석을 위해 계승적으로 발산하는 멱급수의 미분환을 도입한다. 연결된 색인 다이어그램과 단순 순열에 대한 전순서 점근 전개의 닫힌 형태 생성 함수를 제공하며, φ³, φ⁴, QED 및 요카다 이론과 같은 0차원 양자장 이론에서 전순서 점근 전개를 계산하는 데 이 두 구조를 적용한다.

ABSTRACT

This thesis provides an extension of the work of Dirk Kreimer and Alain Connes on the Hopf algebra structure of Feynman graphs and renormalization to general graphs. Additionally, an algebraic structure of the asymptotics of formal power series with factorial growth, which is compatible with the Hopf algebraic structure, is introduced. The Hopf algebraic structure on graphs permits the explicit enumeration of graphs with constraints for the allowed subgraphs. In the case of Feynman diagrams a lattice structure, which will be introduced, exposes additional unique properties for physical quantum field theories. The differential ring of factorially divergent power series allows the extraction of asymptotic results of implicitly defined power series with vanishing radius of convergence. Together both structures provide an algebraic formulation of large graphs with constraints on the allowed subgraphs. These structures are motivated by and used to analyze renormalized zero-dimensional quantum field theory at high orders in perturbation theory. As a pure application of the Hopf algebra structure, an Hopf algebraic interpretation of the Legendre transformation in quantum field theory is given. The differential ring of factorially divergent power series will be used to solve two asymptotic counting problems from combinatorics: The asymptotic number of connected chord diagrams and the number of simple permutations. For both asymptotic solutions, all order asymptotic expansions are provided as generating functions in closed form. Both structures are combined in an application to zero-dimensional quantum field theory. Various quantities are explicitly given asymptotically in the zero-dimensional version of $φ^3$, $φ^4$, QED, quenched QED and Yukawa theory with their all order asymptotic expansions.

연구 동기 및 목표

• 피카르 다이어그램의 호프 대수적 구조를 부분그래프 제약 조건이 있는 임의의 그래프로 일반화하여 체계적인 수세기를 가능하게 한다.
• 계승적 성장 특성을 갖는 형식적 멱급수의 점근적 성질을 다룰 수 있는 대수적 프레임워크를 개발한다. 이는 호프 대수적 구조와 호환된다.
• 통합된 프레임워크를 활용하여 0차원 양자장 이론에서 전순서 점근 전개를 추출한다.
• 양자장 이론에서 레전드르 변환의 호프 대수적 해석을 제공한다.
• 두 가지 조합론적 점근 수세기 문제를 해결한다: 연결된 색인 다이어그램과 단순 순열

제안 방법

• 부분그래프 기반의 재귀적 분해를 통해 피카르 그래프의 호프 대수를 일반 그래프로 적응시킨다.
• 암시적으로 정의된 급수의 점근적 행동을 추출하기 위해 계승적으로 발산하는 멱급수에 대한 미분환 구조를 도입한다.
• 호프 대수와 미분환 간의 호환성을 활용하여 부분그래프 제약 조건이 있는 큰 그래프를 분석한다.
• 재정규화된 진폭에 대한 생성 함수를 계산하여 형식적 0차원 양자장 이론에 이 형식을 적용한다.
• 잔여물 유사 연산을 사용하여 미분환을 통해 점근 전개의 닫힌 형태 생성 함수를 유도한다.
• 양자장 이론에서 다양한 생성 함수를 연결하기 위해 호프 대수 프레임워크 내에서 레전드르 변환을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 피카르 다이어그램의 호프 대수적 구조는 부분그래프 제약 조건이 있는 임의의 그래프로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 계승적으로 발산하는 형식적 멱급수의 점근적 성질을 지배하는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 통합된 호프 대수 및 미분환 프레임워크는 조합론적 대상에 대해 닫힌 형태의 점근 전개를 도출할 수 있는가?
• RQ4 이 구조들은 0차원 양자장 이론에서 전순서 점근 전개를 계산하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 양자장 이론에서 레전드르 변환의 호프 대수적 해석은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 부분그래프 제약 조건 하에서 그래프의 명시적 수세기를 가능하게 하는 일반 그래프 위의 호프 대수를 구성한다.
• 암시적으로 정의된 급수의 전순서 점근 전개를 추출할 수 있도록 계승적으로 발산하는 멱급수의 미분환을 도입한다.
• 연결된 색인 다이어그램의 점근적 수를 닫힌 형태의 생성 함수로 계산한다.
• 단순 순열의 수를 전순서 전개의 닫힌 형태 생성 함수로 점근적으로 결정한다.
• 0차원 φ³, φ⁴, QED, 양자화된 QED 및 요카다 이론에서 재정규화된 진폭에 대한 전순서 점근 전개를 명시적으로 계산한다.
• 레전드르 변환의 호프 대수적 표현을 유도하여 이를 양자장 이론의 재정규화군 구조와 연결한다.