[논문 리뷰] Graphs with Eulerian unit spheres

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 12.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 17인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 오일러의 d-구면체—(d+1)-색칠 가능한 기하학적 d-구면체—에 대해 그래프 이론적 특성을 도입하여, d-구면체가 오일러의 성질을 가진다 하는 것은 오직 모든 (d−2)-차원 단체의 차수가 짝수일 때에만 성립한다는 것을 증명함으로써, 이를 특성화한다. 이 결과는 2-구면체에 대한 켐프-히우드 정리의 일반화이며, 2-구면체를 오일러의 3-구면체에 매립함을 통해 4색 정리의 기하학적 증명 가능성을 제시한다. 이 과정에서 이중 그래프와 변 개선을 사용하여 위상적 성질과 색칠 성질을 유지한다.

ABSTRACT

d-spheres in graph theory are inductively defined as graphs for which all unit spheres S(x) are (d-1)-spheres and that the removal of one vertex renders the graph contractible. Eulerian d-spheres are geometric d-spheres which are d+1 colorable. We prove here that G is an Eulerian sphere if and only if the degrees of all the (d-2)-dimensional sub-simplices in G are even. This generalizes a Kempe-Heawood result for d=2 and is work related to the conjecture that all d-spheres have chromatic number d+1 or d+2 which is based on the geometric conjecture that every d-sphere can be embedded in an Eulerian (d+1)-sphere. For d=2, such an embedding into an Eulerian 3-sphere would lead to a geometric proof of the 4 color theorem, allowing to see "why 4 colors suffice". To achieve the goal of coloring a d-sphere G with d+2 colors, we hope to embed it into a (d+1)-sphere and refine or thin out the later using special homotopy deformations without touching the embedded sphere. Once rendered Eulerian and so (d+2)-colorable, it colors the embedded graph G. In order to define the degree of a simplex, we introduce a notion of dual graph H' of a subgraph H in a general finite simple graph G. This leads to a natural sphere bundle over the simplex graph. We look at geometric graphs which admit a unique geodesic flow: their unit spheres must be Eulerian. We define Platonic spheres graph theoretically as d-spheres for which all unit spheres S(x) are graph isomorphic Platonic (d-1)-spheres. Gauss-Bonnet allows a classification within graph theory: all spheres are Platonic for d=1, the octahedron and icosahedron are the Platonic 2-spheres, the sixteen and six-hundred cells are the Platonic 3-spheres. The cross polytop is the unique Platonic d-sphere for d>3. It is Eulerian.

연구 동기 및 목표

• 오일러의 d-구면체를 식별하는 그래프 이론적 기준을 수립하는 것—이는 최소 (d+1)-색칠이 가능한 d-구면체이다.
• 2-구면체에 대한 켐프-히우드 정리를 고차원 기하학적 그래프로 일반화하는 것.
• 모든 d-구면체가 오일러의 (d+1)-구면체에 매립될 수 있다는 추측을 탐색하는 것—이는 크로마틱 수의 경계 d+2를 암시할 것이다.
• 하위그래프의 이중 그래프의 정의와 역할을 정의하고 분석하는 것—이는 단체의 차수와 오일러 성질을 특성화하는 데 기여한다.
• 변 개선과 붕괴가 오일러의 성질을 유지하면서도 어떤 d-구면체도 같은 클래스 내의 다른 d-구면체로 변환할 수 있는지 조사하는 것.

제안 방법

• 단위 구면체와 붕괴 가능성에 기반해 d-구면체를 귀납적으로 정의하며, (-1)-구면체는 공집합 그래프로 간주한다.
• 유한 단순 그래프 G의 하위그래프 H에 대해 이중 그래프 ̂H를 도입하여, (d−2)-단체의 차수를 ̂H 내의 이중 사이클의 길이로 정의한다.
• d-구면체가 오일러의 성질을 가진다 하는 것은 오직 모든 (d−2)-차원 단체의 이중 그래프 내에서 차수가 짝수일 때에만 성립한다는 것을 증명한다.
• 변 개선과 붕환이 (d−2)-구면체 내의 최대 단체의 차수의 기하학적 성질을 뒤바꾸는 호모토피 이동으로 작용한다는 것을 활용한다.
• 가우스-보네 정리와 호모토피 이론을 적용하여 플라톤의 구면체를 분류하고 기하학적 그래프 내의 지오데식 흐름을 분석한다.
• 기하학적 매립 전략을 제안한다: d-구면체를 오일러의 (d+1)-구면체에 매립한 후, 오일러의 성질을 유지하면서 (d+2)-색칠이 가능하도록 개선한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 그래프 이론적 조건에서 d-구면체가 오일러의 성질을 가지는가(즉, (d+1)-색칠 가능한가)?
• RQ2 모든 d-구면체가 오일러의 (d+1)-구면체에 매립될 수 있는가? 이는 크로마틱 수 추측에 어떤 영향을 미칠 것인가?
• RQ3 변 개선과 붕환이 오일러의 성질을 유지하면서 d-구면체 간의 모든 호모토피 동치를 생성하는가?
• RQ4 오일러의 기하학적 그래프의 클래스는 이중 그래프가 이분 그래프인 그래프의 클래스와 동치인가?
• RQ5 이중 그래프 구성이 단체의 차수와 오일러 성질을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• d-구면체가 오일러의 성질을 가진다 하는 것은 오직 모든 (d−2)-차원 단체의 차수가 그 단체의 이중 그래프 내에서 짝수일 때에만 성립한다.
• 이 결과는 2-구면체에 대한 켐프-히우드 정리를 모든 차원 d ≥ 2로 일반화한다.
• d > 3인 모든 플라톤의 d-구면체는 크로스-오피테이프와 동형이며, 오일러의 성질을 가진다.
• 변 개선과 붕환이 (d−2)-구면체 내의 최대 단체의 차수의 기하학적 성질을 뒤바꾸는 호모토피 이동으로 작용한다.
• 지오데식 흐름을 허용하는 기하학적 그래프의 클래스는 모든 단위 구면체가 오일러의 성질을 가진다는 클래스와 정확히 일치한다.
• d-구면체를 오일러의 (d+1)-구면체에 매립하면, d=2일 경우 4색 정리의 기하학적 증명이 가능하며, 모든 d-구면체가 (d+2)-색칠 가능하다는 추측을 뒷받침한다.