[논문 리뷰] Graphs with many valencies and few eigenvalues

Edwin van Dam, Jack H. Koolen외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 14.

Graph theory and applications참고 문헌 18인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 정규 두그래프와 세일드 스위칭을 이용하여 네 개 또는 다섯 개인 서로 다른 고유값을 가지며 임의로 많은 서로 다른 차수를 가진 연결 그래프를 구성한다. 이는 이러한 그래프의 차수 수가 고유값의 수에 의해 제한되지 않음을 보여주며, 고유값 수와 정점 차수 다양성 간의 관계에 관한 오랜 동안 미해결된 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Dom de Caen posed the question whether connected graphs with three distinct eigenvalues have at most three distinct valencies. We do not answer this question, but instead construct connected graphs with four and five distinct eigenvalues and arbitrarily many distinct valencies. The graphs with four distinct eigenvalues come from regular two-graphs. As a side result, we characterize the disconnected graphs and the graphs with three distinct eigenvalues in the switching class of a regular two-graph.

연구 동기 및 목표

• 연결 그래프에서 서로 다른 차수의 수가 서로 다른 고유값의 수에 의해 제한되는지 조사하기.
• 소수의 고유값을 가지지만 임의의 많은 서로 다른 차수를 가진 연결 그래프를 구성하여 데 케아의 추측에 대비하기.
• 정규 두그래프의 스위칭 클래스 내 그래프의 구조, 특히 고유값과 차수 성질에 대해 탐구하기.
• 스위칭 클래스 내 그래프가 비연결이거나 세 개의 고유값을 가지는 조건을 검토하기.
• 모하르의 구성 방법을 확장하여 연결 이분 그래프에서 고유값 수를 일곱 개에서 다섯 개로 줄이기.

제안 방법

• 제어된 고유값 스펙트럼을 가진 그래프를 생성하기 위해 세일드 스위칭과 정규 두그래프를 활용한다.
• 간섭 정리를 적용하여 완전 이분 그래프의 분리합에 정점을 추가할 때 고유값 수가 제한된 채 유지됨을 보장한다.
• 각 구성요소의 한 색상 집합에 새로운 정점을 연결하여 연결 이분 그래프를 구성함으로써, 인접행렬의 질량을 유지하고 서로 다른 고유값 수를 다섯 개로 줄인다.
• 인cidenc 행렬을 사용하여 새로운 정점의 인접행이 기존 행들의 선형 조합임을 보여주며, 0이 높은 중복도를 가지는 고유값으로 남아 있음을 보장한다.
• 비정규 균일 곱셈 설계의 리저의 구성법을 활용하여 네 개의 고유값과 네 개의 차수를 가진 무한한 이분 그래프의 가족을 생성한다.
• 차수 분할의 몫행렬을 분석하여 균형 잡힌 성질을 검증하고 그래프의 구조에 대한 조합적 제약 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 네 또는 다섯 개의 서로 다른 고유값을 가진 연결 그래프가 임의의 많은 수의 서로 다른 차수를 가질 수 있는가?
• RQ2 네 개의 고유값과 네 개를 초과하는 서로 다른 차수를 가진 연결 이분 그래프가 존재하는가?
• RQ3 정규 두그래프의 스위칭 클래스 내 그래프가 비연결이거나 고유값이 오직 세 개인 조건은 무엇인가?
• RQ4 세 개를 초과하는 서로 다른 차수와 세 개의 고유값을 가진 그래프에서 차수 분할이 균형 잡혀 있는가?
• RQ5 세 개의 고유값과 네 개의 서로 다른 차수를 가진 그래프가 존재할 수 있으며, 이러한 그래프는 어떤 조합적 구조를 암시하는가?

주요 결과

• $ t $의 모든 정수에 대해, 완전 이분 그래프의 분리합에 대해 세일드 스위칭을 적용하여 다섯 개의 서로 다른 고유값과 최소 $ t $개의 서로 다른 차수를 가진 연결 이분 그래프가 존재한다.
• 새로운 정점의 인접행이 기존 행들의 선형 조합임을 보장함으로써 고유값 수가 다섯 개로만 유지되며, 질량이 유지되고 0의 중복도가 증가한다.
• 비자명한 정규 두그래프의 스위칭 클래스 내 그래프는 오직 강한 정규 그래프와 고립 정점의 분리합일 경우에만 비연결이다.
• 비자명한 정규 두그래프의 스위칭 클래스 내 그래프가 오직 세 개의 고유값만을 가진다면, 반드시 정규이므로 강한 정규 그래프여야 한다.
• 51개의 정점에서 13, 18, 34, 45의 서로 다른 차수를 가지며 세 개의 고유값을 가진 그래프의 예가 제시되며, 몫행렬은 균형 잡힌 분할을 나타내고, 차수 18과 34 정점 사이에 2-(5,3,9) 설계가 존재한다.
• 차수 18인 5개의 정점과 차수 34인 30개의 정점 사이의 인cidenc 구조는 다섯 점에서의 완전한 3균일 설계의 세 배로 나타나며, 강력한 조합적 제약 조건을 암시한다.