[논문 리뷰] Grassmann tensor network states and its renormalization for strongly correlated fermionic and bosonic states

Zheng‐Cheng Gu, Frank Verstraete외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 15.

Quantum many-body systems참고 문헌 1인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 강한 상관성이 있는 페르미온 및 보존 상태를 효율적으로 표현하기 위한 통합 프레임워크로 그라스만 텐서 네트워크 상태(GTNS)를 소개한다. 이는 프로젝티브 구성과 fPEPS에서 유래한 상태를 포함한다. 그라스만 변수로 텐서 네트워크 방법을 일반화함으로써, 재규격화된 텐서 네트워크 접근법을 통해 노름과 국소 연산자 기댓값을 다항시간에 계산할 수 있게 되었으며, 이는 평균장 이론을 초월한 고차원 양자 시스템에 대한 변분 방법을 제공한다.

ABSTRACT

The projective construction (the slave-particle approach) has played an very important role in understanding strongly correlated systems, such as the emergence of fermions, anyons, and gauge theory in quantum spin liquids and quantum Hall states. Recently, fermionic Projected Entangled Pair States (fPEPS) have been introduced to effciently represent many-body fermionic states. In this paper, we show that the strongly correlated bosonic/fermionic states obtained both from the projective construction and the fPEPS approach can be represented systematically as Grassmann tensor product states. This construction can also be applied to all other tensor network states approaches. The Grassmann tensor product states allow us to encode many-body bosonic/fermionic states effciently with a polynomial number of parameters. We also generalize the tensor-entanglement renormalization group (TERG) method for complex tensor networks to Grassmann tensor networks. This allows us to approximate the norm and average local operators of Grassmann tensor product states in polynomial time, and hence leads to a variational approach for describing strongly correlated bosonic/fermionic systems in higher dimensions.

연구 동기 및 목표

• 프로젝티브 구성과 fPEPS에서 유래한 상태를 포함한 강한 상관성이 있는 양자 상태를 표현하기 위한 통합 프레임워크를 개발하기 위해 그라스만 텐서 곱 상태를 사용한다.
• 전자 연산자가 파arton 연산자 곱의 합인 경우에 특히 어려운, 프로젝티브 상태에서의 노름과 국소 기댓값 계산의 계산 비가역성을 극복하기 위해 노력한다.
• 텐서-엔트랑글레멘트 재규격화 그룹(TEMG) 방법을 그라스만 텐서 네트워크로 일반화하여 물리적 관측량의 효율적 변분 근사화를 가능하게 한다.
• 기존 방법이 지수적 스케일링으로 인해 실패하는 고차원 시스템에서 물리적 양의 다항시간 계산을 가능하게 한다.

제안 방법

• 강한 상관성이 있는 페르미온 및 보존 상태를 그라스만 텐서 곱 상태로 표현하여 다항수의 매개변수로 표현한다.
• 그라스만 변수를 사용하여 프로젝티브 구성과 fPEPS에서 유도된 상태를 체계적으로 기술함으로써 통합된 텐서 네트워크 공식화를 가능하게 한다.
• TERG 알고리즘을 그라스만 텐서 네트워크로 일반화하여 노름과 국소 연산자 기댓값을 효율적으로 근사한다.
• 그라스만 텐서 네트워크 재규격화를 적용하여 에너지와 상관 함수와 같은 물리적 관측량을 다항시간에 계산한다.
• 그라스만 수의 대수적 구조를 활용하여 텐서 네트워크 표현에서 페르미온 통계와 위상적 순서를 유지한다.
• 얻어진 변분 안사드를 사용하여 두 차원 이상의 강한 상관성이 있는 시스템의 고에너지 상태를 탐색한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그라스만 텐서 네트워크 상태는 프로젝티브 구성과 fPEPS에서 유래한 강한 상관성이 있는 페르미온 및 보존 상태에 대해 다항 매개변수 표현을 효율적으로 제공할 수 있는가?
• RQ2 텐서-엔트랑글레멘트 재규격화 그룹(TEMG) 방법은 그라스만 텐서 네트워크로 일반화되어 물리적 관측량의 효율적 계산을 가능하게 하는가?
• RQ3 표준 변분 몬테카를로 방법은 전자 연산자가 파arton 연산자 곱의 합인 프로젝티브 상태에 대해 왜 실패하는가? 그리고 그라스만 텐서 네트워크는 이를 극복할 수 있는가?
• RQ4 비아벨 및 위상적 양자 상태인 펄라피안 상태와 라울린 상태의 얽힘 구조는 어떻게 그라스만 텐서 네트워크를 통해 효율적으로 포착할 수 있는가?
• RQ5 그라스만 텐서 네트워크 상태는 평균장 이론을 초월한 고차원에서 강한 상관성이 있는 시스템을 시뮬레이션하기 위한 일반적인 변분 안사드가 될 수 있는가?

주요 결과

• 그라스만 텐서 네트워크 상태는 프로젝티브 구성과 fPEPS에서 유래한 강한 상관성이 있는 페르미온 및 보존 상태를 다항수의 매개변수로 체계적이고 효율적으로 표현한다.
• 그라스만 텐서 네트워크를 위한 일반화된 TERG 방법은 노름과 국소 연산자 기댓값의 다항시간 계산을 가능하게 하여 고차원에서의 변분 시뮬레이션을 실현 가능하게 한다.
• 전자 연산자를 파arton 연산자 곱의 합으로 표현함으로써, 비아벨 위상적 순서(예: 펄라피안 상태)를 성공적으로 포착한다.
• 세 개의 파arton을 사용한 프로젝티브 구성으로 $\nu=1/3$ 라울린 상태와 그 $SU(3)_1$ 초전도체 이론의 저에너지 효과 이론을 재현한다.
• 그라스만 텐서 네트워크 공식화는 에너지 준위 채우기(ELF) 상태로 기술할 수 없는 상태, 예를 들어 양자 스핀 액체와 비페르미-액체 금속을 연구할 수 있도록 한다.
• 이 프레임워크는 전자 상태의 합-곱 표현에서의 부호 문제로 인해 전통적 몬테카를로 방법이 실패하는 경우에도 강한 상관성이 있는 시스템에 대한 변분 접근법을 가능하게 한다.