[논문 리뷰] Gravitational anomaly of 3+1 dimensional Z_2 toric code with fermionic charges and fermionic loop self-statistics

Lukasz Fidkowski, Jeongwan Haah외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 27.

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 3+1차원 Z₂ 토릭 코드에서 페르미온 빛의 전하를 가진 두 가지를 구별하기 위해 새로운 위상적 불변량인 루프 자기통계 μ = ±1을 도입한다. 기존의 FcBl 위상(μ = 1)과 중력 이상을 나타내는 새로운 FcFl 위상(μ = -1)이다. FcFl 위상은 이상이 있음을 입증되었으며, 비자명한 4+1차원 가역 위상의 경계에서만 실현 가능하다. 이는 정확히 해석 가능한 모델과 막 연산자 및 위상적 스트링 과정을 통한 μ의 직접 계산을 통해 확인되었다.

ABSTRACT

Quasiparticle excitations in $3+1$ dimensions can be either bosons or fermions. In this work, we introduce the notion of fermionic loop excitations in $3+1$ dimensional topological phases. Specifically, we construct a new many-body lattice invariant of gapped Hamiltonians, the loop self-statistics, that distinguishes two bosonic topological orders that both superficially resemble $3+1$ d ${\mathbb{Z}}_2$ gauge theory coupled to fermionic charged matter. The first has fermionic charges and bosonic ${\mathbb{Z}}_2$ gauge flux loops (FcBl) and is just the ordinary fermionic toric code. The second has fermionic charges and fermionic loops (FcFl), and, as we argue, can only exist at the boundary of a non-trivial 4+1d invertible bosonic phase, stable without any symmetries, i.e. it possesses a gravitational anomaly. We substantiate these claims by constructing an explicit exactly solvable $4+1$ d Walker-Wang model and computing the loop self-statistics in the fermionic ${\mathbb{Z}}_2$ gauge theory hosted at its boundary. We also show that the FcFl phase has the same gravitational anomaly as all-fermion quantum electrodynamics. Our results are in agreement with the recent classification of nondegenerate braided fusion 2-categories by Johnson-Freyd, and with the cobordism prediction of a non-trivial ${\mathbb{Z}}_2$ classified $4+1$ d invertible phase with action $S=\frac{1}{2} \int w_2 w_3$.

연구 동기 및 목표

• 3+1차원 페르미온 Z₂ 게이지 이론에서 위상적 순서를 구별하기 위한 새로운 다체 랜드스케이프 불변량인 루프 자기통계 μ를 정의한다.
• 보존 루프를 가진 FcBl과 페르미온 루프를 가진 FcFl을 포함한 두 가지 Z₂ 토릭 코드 간의 모순을 해결한다.
• FcFl 위상은 이상이 있으며, 독립적인 3+1차원 시스템으로 존재할 수 없고, 비자명한 4+1차원 가역 위상의 경계에서만 실현 가능하다는 것을 입증한다.
• Walker-Wang 방식의 부트스트랩 구축을 통해 FcFl 위상을 경계에 실현하는 정확히 해석 가능한 4+1차원 모델을 구성한다.
• FcFl 위상은 모든 페르미온 양자전자역학과 동일한 중력 이상을 가짐을 보이며, 코보르디즘 및 브레드된 융합 2-category 분류와의 일관성을 확인한다.

제안 방법

• 3+1차원에서 막 연산자를 사용하여 루프 구성을 빈티지화하고, 그 자기통계를 측정하는 T-자형 유사 과정을 통해 루프 자기통계 μ를 정의한다.
• 경계 이론을 블록 해밀토니안으로 부트스트랩하여 4+1차원 정확히 해석 가능한 모델을 구성하며, Walker-Wang 구축과 유사하다.
• 페르미온 스트링 연산자와 막 연산자를 사용하여 경계 이론에서 루프 진동자의 통계를 탐색한다.
• 스pacetime에서 닫힌 경로를 따라 루프를 단절적으로 돌릴 때 획득하는 위상의 변화를 추적하여 μ를 계산하며, 비일관된 위상의 정확한 상쇄를 고려한다.
• μ가 게이지 전하가 페르미온일 때만 잘 정의되며, μ = -1은 중력 이상을 나타낸다.
• 페르미온 전하 조건 하에서 보조적 선택(예: M_ij, |c⟩ 기저)에 독립적이며, 이는 위상적 안정성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3+1차원에서 페르미온 전하를 가진 두 가지 Z₂ 토릭 코드 간에 루프 통계가 다를 경우, 새로운 위상적 불변량이 이를 구별할 수 있는가?
• RQ2 FcFl 위상(페르미온 전하와 페르미온 루프)은 이상이 있으며, 비자명한 4+1차원 가역 위상의 경계에서만 실현 가능한가?
• RQ3 페르미온 Z₂ 게이지 이론에서 μ = +1(FcBl)과 μ = -1(FcFl)을 구별하는 정확한 물리적 메커니즘은 무엇인가?
• RQ4 FcFl 위상을 경계에 실현하는 정확히 해석 가능한 4+1차원 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ5 FcFl 위상은 코보르디즘과 브레드된 융합 2-category 분류에 따라 예측된 바와 같이, 모든 페르미온 QED와 동일한 중력 이상을 공유하는가?

주요 결과

• 루프 자기통계 μ = ±1은 페르미온 전하를 가진 3+1차원 Z₂ 게이지 이론에 대해 잘 정의되고 강건한 불변량이며, FcBl(μ = 1)과 FcFl(μ = -1)을 구별한다.
• FcFl 위상은 중력 이상을 지닌다는 것이 입증되었으며, 독립적인 3+1차원 시스템으로 존재할 수 없고, 비자명한 4+1차원 가역 위상의 경계에서만 실현 가능하다.
• 부트스트랩 방법을 통해 정확히 해석 가능한 4+1차원 모델이 구성되었으며, 경계에서 FcFl 위상을 실현하였고, 명시적 계산을 통해 μ = -1임을 확인하였다.
• FcFl 위상은 모든 페르미온 양자전자역학과 동일한 중력 이상을 공유하며, 위상적 분류 프레임워크와의 일관성을 확인하였다.
• 게이지 전하가 페르미온일 경우, 루프 자기통계 μ는 보조적 선택(M_ij, |c⟩ 기저)에 영향을 받지 않으며, 이는 위상적 불변성을 보장한다.
• FcFl 위상은 유일한 분리 가능한 페르미온 점 진동자를 지니며, 나머지 모든 anyon은 비결속되거나 anyonic임을 확인하여 비자명한 위상적 순서임을 입증한다.