[논문 리뷰] Gravitational dual of the Rényi twist displacement operator

Srivatsan Balakrishnan, Souvik Dutta외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 20.

Numerical methods in inverse problems인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 CFT의 고차원 비틀림 결함에서 이동 연산자의 허브리틱 쌍대를 AdS/CFT를 사용하여 구성하며, 초구형 블랙홀 배경에서 선형화된 계량장 변동에 대한 배경에서의 계량장 변동을 유도한다. 주요 결과는 임의의 차원에서 이동 연산자의 두점 함수 계수 $ C_D $ 를 명시적으로 계산한 것으로, $ n \to 1 $ 근처에서 영에너지 연산자의 반응과 일관됨을 드러낸다.

ABSTRACT

We give a recipe for computing correlation functions of the displacement operator localized on a spherical or planar higher dimensional twist defect using AdS/CFT. Such twist operators are typically used to construct the $n$'th Renyi entropies of spatial entanglement in CFTs and are holographically dual to black holes with hyperbolic horizons. The displacement operator then tells us how the Renyi entropies change under small shape deformations of the entangling surface. We explicitly construct the bulk to boundary propagator for the displacement operator insertion as a linearized metric fluctuation of the hyperbolic black hole and use this to extract the coefficient of the displacement operator two point function $C_D$ in any dimension. The $n ightarrow 1$ limit of the twist displacement operator gives the same bulk response as the insertion of a null energy operator in vacuum, which is consistent with recent results on the shape dependence of entanglement entropy and modular energy.

연구 동기 및 목표

• CFT의 고차원 비틀림 결함에서 이동 연산자의 허브리틱 쌍대를 구성하는 것.
• 임의의 시공간 차원에서 이동 연산자의 두점 함수 계수 $ C_D $ 를 계산하는 것.
• 비틀림 결함의 $ n \to 1 $ 근처에서의 일관성과 진공에 영에너지 삽입의 반응을 확립하는 것.
• AdS/CFT를 사용하여 구형 또는 평면 비틀림 결함에서 이동 연산자의 상관함수를 계산하는 일반적인 방법을 제공하는 것.
• 명시적으로 이동 연산자의 배경 실현을 구성함으로써 허브리틱 dual을 결함 CFT로 확장하는 것.

제안 방법

• 공식화된 반복 기법을 사용하여, 고차원 2차원 비틀림 결함이 있는 $ n $-겹의 오비폴드 CFT를 통해 Rényi 엔트로피를 정의한다.
• 임bedding 공간 형식과 dCFT Ward 항등식을 적용하여 이동 연산자의 스케일링 차원 $ d-1 $ 과 횡방향 벡터 변환을 특성화한다.
• 초구형 블랙홀 배경에서 $ \mathbb{H}_{d-1} \times S^1 $ 표면 기하 구조를 가진 선형화된 계량장 변동으로서의 배경에서의 계량장 전파함수를 구성한다.
• 비틀림 결함이 이동된 기하 구조로 원래의 초구형 블랙홀 해를 변형시키는 디피오모르피즘과 와일 변형을 유도하며, $ \delta_n = n-1 $ 에 대한 페르투르베이션 전개를 사용한다.
• 배경 변형 $ \delta w^\alpha $ 를 통해 $ h_{mn} $, $ h_{m\tau} $, $ h_{\tau\tau} $ 의 배경 계량장 변형을 구한다. 이때 $ \hat{k}(r) $ 의 페르투르베이션 해를 사용한다.
• 배경에서의 계량장 변형이 $ \rho \to 0 $ 근처에서 conformally adapted Gaussian 정규좌표계 유사한 형태로 일치함을 보여주기 위해 $ \rho \to 0 $ 근처의 근사 해를 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CFT의 고차원 비틀림 결함에서 이동 연산자는 AdS에서 선형화된 계량장 변동으로 어떻게 허브리틱적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 임의의 차원에서 이동 연산자에 대한 배경에서의 계량장 전파함수의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 Rényi 비틀림 결함의 $ n \to 1 $ 근처는 진공에 영에너지 연산자 삽입의 반응과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 일반적인 $ d $-차원 CFT에서 이동 두점 함수 계수 $ C_D $ 는 무엇인가?
• RQ5 왜 결함의 등각 대칭성은 엔트로피 표면 근처에서 특정한 형태의 변형 계량장을 자연스럽게 선택하는가?

주요 결과

• 임의의 차원 $ d $ 에서 이동 두점 함수 계수 $ C_D $ 가 명시적으로 계산되었으며, Rényi 엔트로피의 형태 의존성에 대한 보편적인 허브리틱 결과를 제공한다.
• 비틀림 결함의 $ n \to 1 $ 근처에서의 반응이 영에너지 연산자 삽입에 대한 배경 반응과 일치함을 확인하여, 최근의 엔트로피 형태 의존성 결과와의 일관성을 확인한다.
• 엔트로피 표면 근처의 배경 계량장 변형은 등각적으로 적응된 비가우시안 정규형 유사한 계량장 형태를 취하며, 이는 등각 대칭성에 의해 자연스럽게 유도된다.
• 이동 연산자의 배경 실현은 $ h_{mn} $, $ h_{m\tau} $, $ h_{\tau\tau} $ 의 선형화된 계량장 변동으로서 유도되었으며, 경계 변형 $ \delta w^\alpha $ 를 통해 해 $ \phi^\alpha $ 를 통해 완전히 결정된다.
• 비틀림 결함을 이동시키는 디피오모르피즘과 와일 변형은 $ \delta_n = n-1 $ 에 대한 페르투르베이션 전개로 구성되었으며, 얻어진 해는 원하는 변형된 초구형 기하 구조와 일치한다.
• 전체 배경에서의 계량장 전파함수는 $ \phi^\alpha $, $ \hat{g} $, $ \hat{\nabla} $, $ \rho $ 를 통해 표현되었으며, 식 (48)에 명시된 형태로 주어지며, 엔트로피 표면에서 멀리 떨어진 곳에서도 유효하다.