[논문 리뷰] Gravitational energy as Noether charge

Sean A. Hayward|ArXiv.org|2000. 04. 13.

Earth Systems and Cosmic Evolution인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 미분형식 불변성 이론에 대해 액션 변분의 경계항에 노터의 정리 적용을 통해 준국소 중력 에너지 정의를 제안한다. 에너지는 시각적 벡터장에 관련된 노터 전하로서 유래하며, 각각의 대칭적 경우에서 표준 에너지(본디, 코마르, 미스너-샤프)를 복원하고, 양자 이론과 유사한 고전적 에너지-시간 dualism을 수립한다.

ABSTRACT

A definition of gravitational energy is proposed for any theory described by a diffeomorphism-invariant Lagrangian. The mathematical structure is a Noether- current construction of Wald involving the boundary term in the action, but here it is argued that the physical interpretation of current conservation is conservation of energy. This leads to a quasi-local energy defined for compact spatial surfaces. The energy also depends on a vector generating a flow of time. Angular momentum may be similarly defined, depending on a choice of axial vector. For Einstein gravity: for the usual vector generating asymptotic time translations, the energy is the Bondi energy; for a stationary Killing vector, the energy is the Komar energy; in spherical symmetry, for the Kodama vector, the energy is the Misner-Sharp energy. In general, the lack of a preferred time indicates the lack of a preferred energy, reminiscent of the energy-time duality of quantum theory.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론 및 관련 이론에서 중력 에너지를 정의하는 데 오랫동안 지속된 개념적 문제를 해결하기 위해.
• 등가원리에 의해 국소 에너지 밀도의 한계를 피할 수 있는 물리적으로 의미 있는 준국소 에너지 정의를 제공하기 위해.
• 노터 정리에 기반한 단일 프레임워크 안에서 알려진 에너지 정의들(본디, 코마르, 미스너-샤프)을 통합하기 위해.
• 시간 이동 대칭성이 에너지 정의에서 차지하는 역할를 명확히 하여 고전 중력과 양자 이론의 에너지-시간 dualism을 연결하기 위해.
• 중력장과 물질장이 동등하게 다루어질 때 총 에너지가 어떻게 구성되는지 보여주기 위해(라이스너-노르트스트롬 경우를 통해 검증함).

제안 방법

• 미분형식 불변성 라그랑지안의 변분에서 발생하는 경계항에 월드의 형식론을 적용한 노터 전류 구성 방법을 사용한다.
• 노터 전류 J를 J = Θ(φ, £ξφ) − ξ·L 로 유도하며, 여기서 Θ는 액션 변분에서 유래한 심플렉틱 전위이다.
• 장 방정식이 성립할 때 J = dQ 를 만족하는 노터 전하 Q를 식별하고, Q를 보존 에너지로 해석한다.
• 시간의 흐름을 정의하기 위해 시간 생성 벡터장 ξ 를 도입함으로써 Q 를 통해 에너지를 정의한다.
• 아인슈타인 중력 이론과 물질장(클라인-고르던, 맥스웰)에 이 방법을 적용하여 에너지 밀도 및 총 전하의 명시적 표현을 계산한다.
• 기존에 알려진 에너지들을 복원함으로써 접근법을 검증한다: 무한한 곳에서 시간 이동을 생성하는 ξ 를 사용할 경우 본디 에너지가 유도되고, 정적일 경우 코마르 에너지가, 그리고 구형 대칭에서 코다마 벡터를 사용할 경우 미스너-샤프 에너지가 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미분형식 불변성 이론의 액션 변분에서 발생하는 경계항으로부터 일관되고 준국소적인 중력 에너지 정의를 유도할 수 있는가?
• RQ2 경계항에 기반한 노터 전하 구성 방식이 물리적 에너지 보존과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 제안된 에너지 정의가 대칭 시공간에서 기존의 에너지 형태(예: 본디, 코마르, 미스너-샤프)를 복원하는가?
• RQ4 시간 생성 벡터의 선택이 중력 에너지 정의에서 차지하는 역할는 무엇인가?
• RQ5 중력장과 물질장이 동등하게 다루어질 때 물질장은 총 에너지에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 시각적 벡터장 ξ 와 관련된 노터 전하는 밀도가 국소적이지 않은 준국소 에너지 적분을 유도하며, 비국소적 중력 에너지 밀도 문제를 해결한다.
• 무한한 곳에서 ξ 가 시간 이동을 생성하는 점근적으로 평탄한 시공간에서는 에너지가 본디 에너지로 축소되며, 이는 중력파 유량을 포함한다.
• 정적 시공간에서 킬링 벡터 ξ 를 사용할 경우 에너지는 코마르 에너지와 일치하며, 기존 정의와의 일致성을 확인한다.
• 구형 대칭에서 코다마 벡터를 ξ 로 사용할 경우 미스너-샤프 에너지가 도출되며, 이는 역학적 구형 대칭 시공간에 적용 가능함을 보여준다.
• 라이스너-노르트스트롬 해에서는 총 에너지가 아인슈타인 기여(E_E)와 맥스웰 기여(E_M)의 합(E_E + E_M = m)으로 표현되며, 올바른 질량을 회복하기 위해 물질과 중력 에너지를 함께 고려해야 함을 보여준다.
• 선호되는 시간 벡터장이 없기 때문에 유일한 중력 에너지가 존재하지 않으며, 이는 양자 이론의 에너지-시간 불확정성 원리에 대한 고전적 대응을 반영한다.