[논문 리뷰] Gravitational Thermodynamics of Schwarzschild-de Sitter Space

Claudio Teitelboim|ArXiv.org|2002. 03. 27.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 블랙홀 사건의 지평선과 우주론적 지평선을 두 개의 별개의 열역학적 경계로 간주함으로써, 슈바르츠실트-디Sitter 공간의 열역학을 조사한다. 둘 다 다른 작용 원리에 기반한다. 우주론적 지평선이 고정되어 있을 경우 내부 에너지는 $ U = +m $ 이고, 블랙홀 지평선이 고정되어 있을 경우 $ U = -m $ 로 나타나며, 이는 두 구성 모두에서 음의 비열용량으로 인해 블랙홀 형성에 의해 디Sitter 공간 내에서 열역학적 불안정성이 존재함을 시사한다.

ABSTRACT

The Euclidean Schwarzschild-de Sitter geometry may be considered as an extremum of two different action principles. If the thermodynamical parameters are held fixed at the cosmological horizon, one deals with the gravitational thermodynamical effects of the black hole but ignores those of the cosmological horizon. Conversely, if the macroscopical variables are held fixed at the black hole horizon, it is only the cosmological horizon thermodynamics which is dealt with. Both cases are analyzed. In particular, the internal energy U is calculated in the semiclassical approximation as a function of the mass parameter m of Schwarzschild de Sitter space. In the first case one finds U=+m, while in the second one gets U=-m. This suggests that de Sitter space is thermodynamically unstable under black hole formation.

연구 동기 및 목표

• 우주론적 지평선과 블랙홀 지평선을 독립적인 열역학적 경계로 간주할 때, 슈바르츠실트-디Sitter 공간의 열역학적 거동을 분석하는 것.
• 다른 지평선 주기 간의 불일치로 인해 발생하는 유클리드 경로적분 접근법의 모순을 해결하기 위해, 작용에 대해 두 개의 별개의 극값 조건을 식별하는 것.
• 질량 매개변수 $ m $ 이 각 지평선에서 표면항으로서의 역할을 명확히 하여, 온도나 에너지가 고정된 열역학적 계를 가능하게 하는 것.
• 블랙홀이 존재하는 디Sitter 공간이 열역학적으로 안정한지, 특히 호킹 복사와 지평선 역학에 대해 분석하는 것.
• 음의 비열용량이 시스템의 장기적 진화에 미치는 영향을 규명하고, 가능한 한 Nariai 해로의 융합을 포함하여 분석하는 것.

제안 방법

• 두 개의 지평선을 가진 유클리드 슈바르츠실트-디Sitter 계량을 제시하며, $ r_+ $ (블랙홀)와 $ r_{++} $ (우주론적) 지평선은 $ f^2 = 1 - 2m/r - r^2/l^2 $ 로 정의된다.
• 각 지평선을 열역학적 경계로 간주하며, $ r_+ $ 또는 $ r_{++} $ 에서 경계 조건이 고정된 작용 원리를 적용한다.
• 표면항 $ -\beta_{+}m $ 또는 $ +\beta_{++}m $ 을 통해 레지오르드 변환을 이용하여 미크로canonical 계에서 캐논리컬 계로 전환한다.
• 내부 에너지 $ U $ 를 $ m $ 의 함수로 계산하여, $ r_{++} $ 가 고정되어 있을 경우 $ U = +m $ 이고, $ r_+ $ 가 고정되어 있을 경우 $ U = -m $ 이라고 밝혀낸다.
• 비열용량 $ C $ 는 $ C^{-1} = \frac{1}{4\pi} \frac{d}{dU}(f^2)'(r_H) $ 를 사용하여 유도되며, $ dr_H/dU > 0 $ 이므로 음의 값을 가짐을 보여준다.
• 질량 변화에 따른 지평선의 진화를 분석: $ dr_+/dm > 0 $, $ dr_{++}/dm < 0 $ 로, $ m $ 이 증가함에 따라 지평선들이 서로 가까워짐을 나타낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유클리드 슈바르츠실트-디Sitter 해가 두 개의 별개의 작용 원리의 극값으로서 유효한가? 각각 다른 열역학적 시스템에 대응하는가?
• RQ2 우주론적 지평선이 고정되어 있을 경우 시스템의 내부 에너지 $ U $ 는 무엇이며, 블랙홀 지평선이 고정되어 있을 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 두 시스템의 음의 비열용량이 열역학적 안정성과 장기적 진화에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 두 지평선 간의 열적 평형은 달성 가능한가? 만약 가능하다면 최종 구성은 어떠한가?
• RQ5 시스템은 Nariai 해로 수렴하는가, 아니면 지속적인 에너지 교환을 통해 평형 상태에 도달하지 못하는가?

주요 결과

• 우주론적 지평선이 경계로 고정되어 있을 경우 내부 에너지는 $ U = +m $ 이며, 이는 블랙홀에서 양의 에너지 기여를 의미한다.
• 블랙홀 지평선이 경계로 고정되어 있을 경우 내부 에너지는 $ U = -m $ 이며, 이는 우주론적 지평선에서 음의 에너지 기여를 의미한다.
• 두 시스템의 비열용량은 음수이며, $ dU/d\beta^{-1} < 0 $ 로 나타나, 열역학적 변동에 대해 불안정함을 시사한다.
• 질량 매개변수 $ m $ 은 두 지평선 간의 거리를 줄이며, $ dr_+/dm > 0 $ 과 $ dr_{++}/dm < 0 $ 이므로, $ 27m^2/l^2 \to 1 $ 의 극한에서 융합된다.
• 시스템은 $ r_+ = r_{++} $ 가 되는 Nariai 해로 진화할 수 있으며, 이는 지평선이 융합된 열적 평형 상태를 나타낸다.
• 열적 평형에 도달하지 못할 수 있으며, 그 대신 끝없는 에너지 교환, 즉 호킹 복사에 의한 에너지 순환으로 인해 안정된 최종 상태에 도달하지 못할 수 있다.