[논문 리뷰] Gravity as a Higgs Field. I.the Geometric Equivalence Principle

G. Sardanashvily|ArXiv.org|1994. 05. 06.

Relativity and Gravitational Theory참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 중력을 비틀림이 없는 대칭성의 자동적 붕괴에 의해 발생하는 힉스 장으로 이해할 수 있다고 제안한다. 테트라드 장이 이 과정에서 힉스 메커니즘의 질서 매개변수로 작용한다. 클라인-처른 기하학을 통해 등가 원리의 재구성함으로써, 디рак 페르미온은 시공간과 테트라드 좌표 공간을 따라 연결을 포함하는 복합 스핀르 번들의 위에 결합하게 되며, 이는 시공간과 내부 대칭을 통합하는 총 디рак 연산자를 이끈다.

ABSTRACT

{\it If gravity is a metric field by Einstein, it is a Higgs field.} Gravitation theory meets spontaneous symmetry breaking in accordance with the Equivalence Principle reformulated in the spirit of Klein-Chern geometries of invariants. In gravitation theory, the structure group of the principal linear frame bundle $LX$ over a world manifold $X^4$ is reducible to the connected Lorentz group $SO(3,1)$. The physical underlying reason of this reduction is Dirac fermion matter possessing only exact Lorentz symmetries. The associated Higgs field is a tetrad gravitational field $h$ represented by a global section of the quotient $\Si$ of $LX$ by $SO(3,1)$. The feature of gravity as a Higgs field issues from the fact that, in the presence of different tetrad fields, Dirac fermion fields are described by spinor bundles associated with different reduced Lorentz subbundles of $LX$, and we have nonequivalent representations of cotangent vectors to $X^4$ by Dirac's matrices. It follows that a fermion field must be regarded only in a pair with a certain tetrad field. These pairs fail to be represented by sections of any product bundle $S imes\Si$, but sections of the composite spinor bundle $S o\Si o X^4$. They constitute the so-called fermion-gravitation complex where values of tetrad gravitational fields play the role of coordinate parameters, besides the familiar world coordinates. In Part 1 of the article, geometry of the fermion-gravitation complex is investigated. The goal is the total Dirac operator into which components of a connection on $S o\Si$ along tetrad coordinate directions make contribution. The Part II will be devoted to dynamics of fermion-gravitation complex. It is a constraint system to describe which we use the covariant multisymplectic generalization of the Hamiltonian formalism when canonical momenta correspond to derivatives of fields with respect to all world coordinates, not only the time.

연구 동기 및 목표

• 등가 원리를 불변량의 클라인-처른 기하학을 통해 재구성하여 중력과 페르미온 물질을 통합한다.
• 자발적 로렌츠 대칭성 붕괴에 의해 중력이 힉스 장으로 나타나는 기하학적 프레임워크를 구축한다.
• 디랙 페르미온과 중력 간의 결합을 곱집합 번들 $S \times \Sigma$ 가 아니라 테트라드 장 공간 위의 복합 스핀르 번들로 기술한다.
• 다중심플렉틱 형식에서 제약 조건이 붙은 해밀턴 역학의 기하학적 기초를 마련한다.
• 다른 테트라드 장이 디랙 행렬에 의해 코탄젠트 벡터의 비동치 표현을 유도함으로써, 총 디랙 연산자가 시공간과 테트라드 좌표 방향의 연결을 포함하게 되며, 이는 테트라드 공간 위의 섬유화된 구조가 필요하다.

제안 방법

• 4차원 세계 만델라 $X^4$ 위의 프레임 번들 $LX$ 의 구조군을 디랙 페르미온의 정확한 로렌츠 대칭성에 기반해 로렌츠 군 $SO(3,1)$ 으로 감소시킨다.
• 테트라드 중력장 $h$ 를 $\Sigma = LX / SO(3,1)$ 의 전역 단면으로 식별함으로써, 이 맥락에서 힉스 장을 정의한다.
• 페르미온-중력 복합체를 $S \to \Sigma \to X^4$ 의 복합 스핀르 번들로 구성하며, 이때 테트라드 장이 좌표 매개변수로 작용한다.
• 시공간과 테트라드 좌표 방향의 연결을 모두 포함하는 총 디랙 연산자를 유도함으로써, 시공간과 내부 대칭을 통합한다.
• 모든 세계 좌표에 대한 도함수에 대해 캐논ical 운동량을 할당하는, 해밀턴 형식의 코바리언트 다중심플렉틱 일반화를 적용한다.
• 주 번들 및 관련 번들의 기하학을 사용하여, 페르미온과 중력 간의 상호작용을 힉스 유사 대칭성 붕괴를 갖는 게이지 유사한 구조로 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등가 원리는 클라인-처른 기하학의 관점에서 어떻게 재구성될 수 있으며, 이를 통해 중력과 페르미온 물질을 통합할 수 있는가?
• RQ2 자발적 로렌츠 대칭성 붕괴를 통해 중력을 힉스 장으로 실현하는 데 있어 테트라드 장의 기하학적 역할은 무엇인가?
• RQ3 왜 페르미온-중력 시스템은 곱집합 번들 $S \times \Sigma$ 로 표현될 수 없으며, 그 대체로 어떤 구조가 존재하는가?
• RQ4 시공간과 테트라드 매개변수 방향의 연결에서 유도된 총 디랙 연산자는 어떻게 도출되는가?
• RQ5 다중심플렉틱 형식은 제약 조건이 붙은 시스템으로서의 페르미온-중력 복합체의 역학을 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 테트라드 장 $h$ 는 중력의 힉스 장으로 기능하며, $\Sigma = LX / SO(3,1)$ 에서의 전역 단면이 전체 선형 프레임 대칭성을 로렌츠 대칭성으로 자동 붕괴시키는 방식으로 정보를 담고 있다.
• 디랙 페르미온은 특정 테트라드 장과만 쌍으로 중력과 결합되며, 이러한 쌍은 곱집합 번들 대신 복합 스핀르 번들 $S \to \Sigma \to X^4$ 의 단면으로 기술된다.
• 다른 테트라드 장은 디랙 행렬을 통해 코탄젠트 벡터의 비동치 표현을 유도하며, 이는 일반적인 스핀르 번들 구조를 무효화한다.
• 총 디랙 연산자는 시공간과 테트라드 좌표 방향의 연결 성분의 합으로 구성되며, 기하학적 및 역학적 측면을 통합한다.
• 페르미온-중력 복합체는 제약 시스템을 이룬다. 이 시스템의 역학은 모든 세계 좌표 도함수의 도함수에 대해 운동량이 할당된 코바리언트 다중심플렉틱 해밀턴 형식에 의해 지배된다.
• 기하학적 프레임워크는 향후 중력과 페르미온의 역학 이론을 위한 자연스러운 배경을 제공하며, 이는 구조군의 프레임 번들 감소에 뿌리를 두고 있는 힉스 유사 메커니즘에 기반한다.