[논문 리뷰] Gravity Inside a Nonrotating, Homogeneous, Spherical Body

Homer G. Ellis|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 20.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 액티브 중력 질량 밀도를 소스 항으로 정확히 식별함으로써 아인슈타인 장 방정식을 개선한 변분 원리에서 유도된 새로운 내부 계량을 제안한다. 이는 수동 질량과 액티브 질량을 정당성 없이 동일시한 아인슈타인의 오류를 피한다. 결과적으로 유일하게 스위처랜드 외부 해와 매끄럽게 매칭되는 계량은 체내를 통과하는 광자와 중성자의 비행 시간을 수정하여 표준 스위처랜드 내부 해와 논리적으로 일관된 대안을 제공한다.

ABSTRACT

Schwarzschild's 'interior solution' is a space-time metric that satisfies Einstein's gravitational field equations with a source term that Einstein created on the basis of an unjustified identification of the conceptually distinct notions of the passive gravitational mass of matter and the active gravitational mass of matter. Giving up that assumption allows deriving from a variational principle new and better (because logically obtained) field equations that more faithfully extend the Poisson equation for Newton's gravity than do Einstein's, with an active gravitational mass density providing the source term. Solving these equations for a nonrotating spherical ball of matter with uniform mass density produces a new, improved interior metric matched at the surface of the ball to Schwarzschild's 'exterior' solution metric. This new metric can then be used to address questions about the flight times of photons and neutrinos through such a ball of matter.

연구 동기 및 목표

• 아인슈타인 장 방정식의 근본적 오류를 수정함: 수동 중력 질량을 액티브 중력 질량과 정당성 없이 동일시한 것.
• 액티브 중력 질량 밀도를 소스 항으로 올바르게 포함하는 변분 원리에서 논리적으로 일관된 장 방정식의 집합을 유도함.
• 비회전, 균일, 구형 체적에 대한 새로운 내부 계량을 구축함. 이는 표면에서 스위처랜드 외부 해와 매끄럽게 매칭된다.
• 이 새로운 계량을 사용하여 광자와 중성자의 비행 시간을 계산함. 특히 실험적 중성자 타이밍 측정에 관련됨.

제안 방법

• 변분 원리 $\delta\!\int({\bm{R}}-\frac{8\pi\kappa}{c^{2}}\mu+2\,\phi^{.\gamma}\phi_{.\gamma})\,|g|^{\frac{1}{2}}\,d^{4}\!x=0$ 에서 새로운 장 방정식을 유도함. 이를 위해 보조 스칼라 장 $\phi$ 를 도입하여 해를 일반화함.
• 정적, 구형 대칭, 균일한 구체에 대해 유도된 장 방정식 $ {\bm{R}}_{\alpha\beta}=\frac{4\pi\kappa}{c^{2}}\mu\,g_{\alpha\beta}-2\,\phi_{.\alpha}\phi_{.\beta} $ 와 $ \square\phi=0 $ 을 해결함.
• 매개변수 $ \lambda $ 를 가진 형태의 새로운 내부 계량 $ d\tau^{2}=\frac{1-2m/R}{1+\lambda m/R}\left[1+\frac{\lambda m}{R}\frac{r^{2}(\rho)}{R^{2}}\right]\,dt^{2}-\cdots $ 을 구성함. 여기서 $ r(\rho)=\lambda(\rho-\rho_0) $ 이고 $ \rho_0=\frac{\lambda-1}{\lambda}R $ 이다.
• 내부 계량을 $ r=R $ 에서 스위처랜드 외부 해와 매칭하기 위해 $ \left(1-\frac{2m}{R}\right)\lambda^{2}-\frac{m}{R}\lambda-1=0 $ 을 풀어 $ \lambda $ 를 결정함.
• 지오데식 역학과 반경 방향 가속도 행동을 명확히 하기 위해 계량을 '에테르 유동' 형태로 표현함.
• 시험 입자의 반경 방향 지오데식 방정식을 계산하고 반경 방향 가속도의 중력 및 관성항을 분석함. 이로써 중력은 연속적이지만 관성항은 경계에서 불연속임을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아인슈타인 장 방정식을 어떻게 수정하여 액티브 중력 질량 밀도를 소스 항으로 정확히 식별할 수 있는가? 이는 수동 질량과 액티브 질량을 정당성 없이 동일시하는 것을 피하기 위함이다.
• RQ2 비회전, 균일, 구형 체적에 대해 스위처랜드 외부 해와 매끄럽게 매칭되는 새로운 내부 계량은 무엇인가?
• RQ3 이 새로운 계량 하에서 광자와 중성자의 비행 시간은 표준 스위처랜드 내부 해와 어떻게 다를까?
• RQ4 시험 입자에 대한 새로운 내부 계량에서 반경 방향 가속도의 행동은 무엇인가? 특히 중심과 경계에서 어떻게 되는가?
• RQ5 새로운 계량은 중력 힘의 연속성을 유지하면서도 경계에서 관성항의 불연속성을 유도하는가?

주요 결과

• 새로운 내부 계량은 액티브 중력 질량 밀도 $ \mu $ 를 소스 항으로 정확히 식별하는 보정된 변분 원리에서 유도되었으며, 아인슈타인의 수동 질량과 액티브 질량을 정당성 없이 동일시한 오류를 피한다.
• 해는 $ \lambda = \frac{m+\sqrt{m^{2}+4R(R-2m)}}{2(R-2m)} $ 를 얻으며, 이는 반경 스케일링 $ r(\rho)=\lambda(\rho-\rho_0) $ 를 결정하고 $ r=R $ 에서 외부 스위처랜드 해와의 매끄러운 매칭을 보장한다.
• 계량은 체심에서 중력 및 관성 반경 가속도가 모두 0이 되며, 뉴턴적 예측과 일치함을 보여준다.
• 경계에서 중력 성분은 새로운 내부 및 외부 계량 간에 연속적이지만, 관성 성분은 $ R/\lambda \neq R-3m $ 이므로 불연속적이다.
• 새로운 계량은 체내를 통과하는 광자 및 중성자의 비행 시간을 정밀하게 계산할 수 있게 하며, OPERA 및 ICARUS와 같은 실험의 결과 해석에 잠재적인 영향을 미칠 수 있다.
• '에테르 유동' 형태의 계량은 중력장의 반경 방향 유동을 드러내며, 반경 좌표 $ \rho $ 가 표면적 반경 $ r(\rho) $ 보다 더 빠르게 증가함을 보여주며, 내부에서 비유클리드 기하학을 반영한다.