[논문 리뷰] Green's function Zero and Symmetric Mass Generation

Yichen Xu, Cenke Xu|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 29.

Topological Materials and Phenomena인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대칭 질량 생성(SMG) 이후 토폴로지적 초전도체와 절연체가 비틀림을 겪고도 그 비틀림의 잔여 흔적이 영주파수에서 페르미온 그린 함수의 영점 형태로 남아 있음을 보여준다. 실공간에 장착된 결함 구조와 그린 함수를 단일 입자 경로 적분으로 매핑함으로써, 이는 번역 대칭성이 필요 없이도 임의의 차원에서 존재함을 증명한다. 이는 피하기 어려운 토폴로지 전이가 있는 시스템에서도 성립한다.

ABSTRACT

It is known that, under short-range interactions many topological superconductors (TSC) and topological insulators (TI) are trivialized, which means the boundary state of the system can be trivially gapped out by interaction without leading to symmetry breaking or topological ground state degeneracy. This phenomenon is also referred to as "symmetric mass generation" (SMG), and has attracted broad attentions from both the condensed matter and high energy physics communities. However, after the trivialization caused by interaction, some trace of the nontrivial topology of the system still persists. Previous studies have indicated that interacting topological TSC and TI could be related to the "zero" of Green's function, namely the fermion Green's function $G(\mathrm{i} ω ightarrow 0) = 0$. In this work, through the general "decorated defect" construction of symmetry protected topological (SPT) states, we demonstrate the existence of Green's function zero after SMG, by mapping the evaluation of the Green's function to the problem of a single particle path integral. This method can be extended to the cases without spatial translation symmetry, where the momentum space which hosts many quantized topological numbers is no longer meaningful. Using the same method one can demonstrate the existence of the Green's function zero at the "avoided topological transition" in the bulk of the system.

연구 동기 및 목표

• 대칭 질량 생성(SMG)으로 인해 스펙트럼이 완전히 갭이 생기더라도, 비틀림이 있는 토폴로지적 초전도체와 절연체의 잔여 흔적을 식별하는 것.
• 모멘텀 공간에서의 토폴로지가 더 이상 정의되지 않더라도, 영주파수에서 페르미온 그린 함수의 영점(G(iω→0)=0)이 유지됨을 입증하는 것.
• 번역 대칭성이 없더라도 임의의 차원에서 작동하는 방법을 개발하여, 모멘텀 공간 기반의 토폴로지 불변량의 한계를 극복하는 것.
• 그린 함수의 영점이 경계 뿐 아니라 피하기 어려운 토폴로지 전이에서의 겉보기 상의 부스러기에서도 안정됨을 보여주는 것.
• 강한 상호작용 시스템에서 SMG의 토폴로지적 흔적을 포괄하는 실공간 및 경로 적분 형식의 그린 함수를 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 대칭 보호 토폴로지(SPT) 상태의 일반적인 '결함 장착' 구조를 사용하여 실공간에서 SMG 과정을 모델링한다.
• 페르미온 그린 함수의 계산을 단일 입자 경로 적분으로 매핑함으로써, 모멘텀 공간이나 번역 불변성에 의존하지 않는 평가가 가능해진다.
• 그린 함수는 작은 매개변수 Δ의 멱수로 전개되며, 주로 수정된 전파자 GΔ(λ)를 포함하는 함수적 적분을 통해 1차 항이 계산된다.
• 경로 적분에는 결함 구조를 캡슐화하고 페르미온 자유도와 결합하는 가중 함수 ρ~A(δτ,ϕ)가 포함된다.
• 경로 적분의 큰 β 행동을 분석함으로써, 영주파수에서의 그린 함수를 평가하며, 지수적 감쇠가 나타나 영점이 존재함을 보여준다.
• 수치적 통합은 Δ 전개의 1차 보정항이 큰 β에서 β^{3/2}로 감쇠함을 확인하여, Fourier 변환에서 ω=0에서의 영점 존재를 지지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비틀림이 있는 비틀림 상태가 대칭 질량 생성(SMG)으로 인해 시스템의 스펙트럼이 완전히 갭이 생긴 후에도 그린 함수에 감지 가능한 흔적을 남기나?
• RQ2 번역 대칭성이 없어 모멘텀 공간 불변량이 정의되지 않는 시스템에서도 그린 함수의 영점이 확립될 수 있는가?
• RQ3 그린 함수의 영점이 경계 뿐 아니라 피하기 어려운 토폴로지 전이에서의 부스러기에서도 안정적인가?
• RQ4 SMG 메커니즘은 페르미온 전파자의 실공간 경로 적분 형식으로 이해될 수 있는가?
• RQ5 SMG 상태에서 그린 함수 보정의 기능적 형태는 무엇이며, 이는 영주파수에서의 영점으로 이어지는가?

주요 결과

• 대칭 질량 생성 이후 페르미온 그린 함수는 영주파수에서 영점(G(iω→0)=0)을 보이며, 이는 완전히 갭이 생긴 상태에서도 지속되는 토폴로지 불변량으로서의 역할을 한다.
• 실공간에 장착된 결함 구조를 사용하여 번역 대칭성이 필요 없이도 임의의 공간 차원에서 그린 함수의 영점이 안정적으로 입증된다.
• 수치적 평가에서 Δ 전개의 주요 보정항이 큰 허수 시간 β에서 β^{3/2}로 감쇠함을 확인하여, Fourier 변환에서 ω=0에서의 영점 존재를 지지한다.
• 경로 적분 형식은 경계와 부스러기 설정 모두에서 SMG의 토폴로지적 흔적을 성공적으로 포착하며, 피하기 어려운 토폴로지 전이에서도 성립한다.
• 이 방법은 모멘텀 공간 불변량을 넘어서 일반화되어, 번역 대칭성이 깨지거나 없어진 시스템에서 SMG를 탐지할 수 있는 프레임워크를 제공한다.
• 경로 적분의 구조에 의해 유도되는 큰 β에서의 지수적 감쇠는, 시스템이 완전히 갭이 생겨도 영주파수에서의 영점 존재를 보장한다.