[논문 리뷰] Green's relations on the deformed transformation semigroups

Galyna Tsyaputa|ArXiv.org|2005. 08. 21.

semigroups and automata theory참고 문헌 4인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 고정된 원소 a에 의해 뒤틀린 유한 역대칭 대칭 반군 (ISₙ, *ₐ)과 고정된 원소 a에 의해 뒤틀린 유한 대칭 반군 (Tₙ, *ₐ)에서 그린 관계(L, R, H, D)를 특성화한다. (ISₙ, *ₐ)가 자기 dual임을 증명하고, a에 대한 도메인 및 레인지 포함관계에 기반한 L- 및 R-클래스에 대한 명시적 조건을 도출하며, rank(a) = p > 1일 때 스틸링 수와 이항계수를 이용한 클래스의 크기 공식을 정확히 유도한다.

ABSTRACT

Green's relations on the deformed finite inverse symmetric semigroup $\mathcal{IS}_n$ and the deformed finite symmetric semigroup $\mathcal{T}_n$ are described.

연구 동기 및 목표

• 뒤얽힌 유한 역대칭 대칭 반군 (ISₙ, *ₐ)과 뒤얽힌 유한 대칭 반군 (Tₙ, *ₐ)에서 그린 관계(L, R, H, D)를 특성화하는 것.
• 뒤얽힌 원소 a에 대한 도메인 및 레인지 포함관계에 기반해 (ISₙ, *ₐ)의 L- 및 R-클래스의 구조를 규명하는 것.
• rank(a) = p > 1일 때 (Tₙ, *ₐ)에서 다중 원소 L- 및 R-클래스의 수와 크기에 대한 명시적 공식을 도출하는 것.
• (ISₙ, *ₐ)가 뒤얽힌 곱셈 *ₐ에 대해 자기 dual임을 증명하는 것.
• 랭크 불변성을 통해 뒤얽힌 반군 (ISₙ, *ₐ)의 동형 유형을 분류하여 이전의 분류 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• x *ₐ y = x a y를 통해 뒤얽힌 곱셈을 정의하여 ISₙ 및 Tₙ 위에 새로운 반군 연산을 설정한다.
• 표준 그린 관계 이론을 적용: 왼쪽 L, 오른쪽 R, 힐 H, 이중 D, 보석 J 관계는 한쪽 및 양쪽 아이디얼을 통해 정의된다.
• 도메인(dom) 및 레인지(ran) 포함관계를 활용: x ∈ Rₐ일 조건은 dom(x) = dom(a) 이고 ran(x) ⊆ dom(a); x ∈ Lₐ일 조건은 ran(x) = ran(a) 이고 dom(x) ⊆ ran(a).
• 반군 (ISₙ, *ₐ)의 자기 dual성을 활용하여 역함수 사상 x ↦ x⁻¹를 통해 이중 반군과의 동형을 보여주는 방식으로 활용한다.
• 조합론적 도구를 활용: 첫 번째 및 두 번째 종류의 스틸링 수 S(n,m), 이항계수, 계승 항목을 사용하여 클래스 크기를 세는 데 사용한다.
• 포함배제 원리를 적용하여 전체 반군 크기 nⁿ에서 다중 원소 클래스 수를 빼서 일원소 L- 및 R-클래스의 수를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 뒤얽힌 역대칭 대칭 반군 (ISₙ, *ₐ)에서 두 원소가 동일한 L-클래스에 속하기 위한 조건은 무엇인가요?
• RQ2 뒤얽힌 원소 a의 도메인 및 레인지에 따라 (ISₙ, *ₐ)의 R-클래스는 어떻게 달라지나요?
• RQ3 rank(a) = p > 1일 때 (Tₙ, *ₐ)에서 다중 원소 L-클래스의 크기는 얼마인가요?
• RQ4 뒤얽힌 반군 (ISₙ, *ₐ)의 자기 dual성은 그린 관계의 구조와 어떻게 관련되어 있나요?
• RQ5 rank와 a의 전이역 크기에 기반해 (Tₙ, *ₐ)에서 일원소 및 다중 원소 L- 및 R-클래스의 정확한 수는 얼마인가요?

주요 결과

• (ISₙ, *ₐ)는 자기 dual이며, 즉 x ↦ x⁻¹ 사상에 의해 이중 반군과 동형임을 의미한다.
• 원소 x가 (ISₙ, *ₐ)에서 다중 원소 R-클래스에 속하려면 ran(x) ⊆ dom(a)여야 하며, 그 R-클래스는 dom(y) = dom(x) 이고 ran(y) ⊆ dom(a)인 모든 y의 집합이다.
• (Tₙ, *ₐ)에서 다중 원소 L-클래스의 수는 ∑ₘ₌₁ᵖ (ⁿₘ) 과 같고, 각 클래스의 크기는 rank(a) = p일 때 S(p,m) ∑ⱼ₌₁ᵐ S(n−p,j) (ᵐⱼ) j! 이다.
• (Tₙ, *ₐ)에서 일원소 L-클래스의 수는 nⁿ − ∑ₘ₌₁ᵖ (ⁿₘ) S(p,m) ∑ⱼ₌₁ᵐ S(n−p,j) (ᵐⱼ) j! 이다.
• (Tₙ, *ₐ)에서 다중 원소 R-클래스의 수는 ∑ₘ₌₁ᵖ S(n,m) 이며, 각 클래스의 크기는 ∑₁≤i₁<⋯<iₘ≤p n(aᵢ₁)⋯n(aᵢₘ) m! 이다.
• (Tₙ, *ₐ)에서 일원소 R-클래스의 수는 nⁿ − ∑ₘ₌₁ᵖ S(n,m) ∑₁≤i₁<⋯<iₘ≤p n(aᵢ₁)⋯n(aᵢₘ) m! 이다.