[논문 리뷰] Greenberg's conjecture and units in multiple Z_p-extensions

William G. McCallum|ArXiv.org|2000. 07. 13.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 지수의 비정칙성 1, Vandiver의 추측, 단위군 조건을 만족할 경우, 체 $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ 에서 Greenberg의 추측을 증명한다. $p$ 가 비정칙이지만 이러한 조건들을 만족할 경우, Iwasawa 모듈러스 $A$ 가 pseudo-null 임을 보이며, Iwasawa의 단위정리의 일반화와 계급체론을 이용하여 $p$-단위의 $p$-거듭제곱근에 의한 Kummer 확장의 갈루아군이 $\Lambda$-모듈로써 순환자유임을 보인다.

ABSTRACT

In this paper we prove Greenberg's pseudo-null conjecture for the field of p-th roots of unity in the case that p exactly divides the class number and the index of the global units in the local units. We also generalize to the case of multiple Z_p-extensions a theorem of Iwasawa on the Kummer extension of the cyclotomic Z_p-extension generated by p-power roots of units .

연구 동기 및 목표

• 특정 산술 조건 하에서 $K = \mathbb{Q}(\zeta_p)$ 에서 Iwasawa 모듈러스 $A$ 가 pseudo-null 임을 증명하는 것.
• $N_\infty$ 가 $p$-단위의 $p$-거듭제곱근에 의한 Kummer 확장일 때, 갈루아군 $Y' = \mathrm{Gal}(N_\infty/K_\infty)$ 의 순환자유성 증명.
• Greenberg의 추측이 성립할 경우, $K$ 의 최대 $p$-분할 프로-$p$ 확장이 $p$ 가 정칙이 아닐 경우에만 질량 $r$ 의 자유 프로-$p$ 몫을 가질 수 있음을 보여주는 것.
• 다중 $\mathbb{Z}_p$-확장의 맥락에서 Iwasawa의 단위정리를 일반화하는 것.

제안 방법

• $\Gamma \cong \mathbb{Z}_p^r$ 인 Iwasawa 대수 $\Lambda = \mathbb{Z}_p[[\Gamma]]$ 를 사용하여 $A$ 를 $\Lambda$-모듈로로 구조 분석.
• 일반화된 Iwasawa 단위정리를 적용하여, $p$ 위에 하나의 소수만 존재하고 $K_\infty$ 가 모든 $p^n$-단위의 $p$-거듭제곱근을 포함할 경우, 갈루아군 $Y' = \mathrm{Gal}(N_\infty/K_\infty)$ 가 $\Lambda$-모듈로로서 순환자유임을 보임.
• 계급체론을 활용하여 $A \cong X = \mathrm{Gal}(L_\infty/K_\infty)$ 를 식별함으로써, Greenberg의 추측은 $X$ 가 pseudo-null 임을 의미함.
• 쌍대성과 코homological 기법을 통해 $X$ 가 pseudo-null 임과 $Y = \mathrm{Gal}(M_\infty/K_\infty)$ 가 순환자유임이 동치임을 증명.
• 정리 1의 조건(계급군 $A(K) \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, $(U/E)[p^\infty] \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$) 이 정리 26의 가정을 유도함을 검증함. 이는 $H^2(G, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 와 $\mathrm{Kab} \subset N_\infty$ 를 포함함.
• 반사원리와 알려진 순환체 단위의 성질을 이용하여, $K$ 의 힐베르트 계급체 $H$ 가 $K_\infty$ 에 포함됨을 보이며, 이는 이상군의 관계를 유도하고 $\alpha^{1/p} \in N_\infty$ 를 허용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $K = \mathbb{Q}(\zeta_p)$ 에서 Greenberg의 추측이 $A$ 가 pseudo-null 임을 보장하는가?
• RQ2 $p$-단위의 $p$-거듭제곱근에 의한 Kummer 확장의 갈루아군이 $\Lambda$-모듈로로서 순환자유가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 Greenberg의 추측이 $K$ 의 최대 $p$-분할 프로-$p$ 확장의 자유 프로-$p$ 몫의 존재에 어떤 제약을 끼치는가?
• RQ4 $K$ 의 $p$-진 완비화에서 $A$ 의 구조와 단위군 $U/E$ 의 관계는 무엇인가?
• RQ5 Iwasawa의 단위정리는 다중 $\mathbb{Z}_p$-확장의 맥락에서 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• Greenberg의 추측은 $A(K) \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 이고 $(U/E)[p^\infty] \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 일 경우, $K = \mathbb{Q}(\zeta_p)$ 에서 성립하며, 이는 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149 등의 소수에서 성립한다.
• $K_\infty$ 가 모든 $p^n$-단위의 $p$-거듭제곱근을 포함하고 $p$ 위에 하나의 소수가 존재할 경우, $p$-단위의 $p$-거듭제곱근에 의한 Kummer 확장의 갈루아군 $Y' = \mathrm{Gal}(N_\infty/K_\infty)$ 는 $\Lambda$-모듈로로서 순환자유이다.
• $K_\infty$ 의 최대 아벨 $p$-분할 프로-$p$ 확장 $M_\infty$ 의 갈루아군 $Y$ 는 $\Lambda$-모듈로로서 순환자유이며, 이는 $A$ 가 pseudo-null 임을 의미한다.
• $K = \mathbb{Q}(\zeta_p)$ 가 Greenberg의 추측을 만족할 경우, 최대 $p$-분할 프로-$p$ 확장 $G = \mathrm{Gal}(\Omega/K)$ 는 $p$ 가 정칙이면서만 질량 $g - s$ 의 자유 프로-$p$ 몫을 가진다.
• $K$ 의 힐베르트 계급체 $H$ 는 $K_\infty$ 에 포함되므로, 이상군의 생성자가 관계를 갖게 되며, 이는 적절한 $p$-단위 $\alpha$ 에 대해 $\alpha^{1/p} \in N_\infty$ 를 유도한다.
• 정리 1의 조건은 $p$ 가 Vandiver의 추측을 만족하고 $B_2, B_4, \dots, B_{p-1}$ 중 정확히 하나를 나누며, 단위의 $p$-진 로그에 대한 추가 합동 조건을 만족할 때와 동치이다.