[논문 리뷰] Groebner bases of reaction networks with intermediate species

AmirHosein Sadeghimanesh, Elisenda Feliu|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 21.

Computational Drug Discovery Methods참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 중간 종물을 포함한 반응 네트워크의 그로브너 기저를 효율적으로 계산하기 위한 방법을 제시한다. 핵심 네트워크(중간 종물을 제외)를 활용하고 선형 대수를 통해 기저를 올림(uplift)하는 방식이다. 주요 결과는 적절한 단항식 순서 하에 핵심 네트워크의 정 steady 상태 이상의 기저가 항상 확장된 네트워크의 이상으로 올려질 수 있으며, 이는 계산 시간을 크게 줄이고 추가적인 구조적 조건 하에 이진성(binomiality)을 유지함을 의미한다.

ABSTRACT

In this work we consider the computation of Groebner bases of the steady state ideal of reaction networks equipped with mass-action kinetics. Specifically, we focus on the role of intermediate species and the relation between the extended network (with intermediate species) and the core network (without intermediate species). We show that a Groebner basis of the steady state ideal of the core network always lifts to a Groebner basis of the steady state ideal of the extended network by means of linear algebra, with a suitable choice of monomial order. As illustrated with examples, this contributes to a substantial reduction of the computation time, due mainly to the reduction in the number of variables and polynomials. We further show that if the steady state ideal of the core network is binomial, then so is the case for the extended network, as long as an extra condition is fulfilled. For standard networks, this extra condition can be visually explored from the network structure alone.

연구 동기 및 목표

• 중간 종물을 포함한 반응 네트워크의 정상 상태 이상에 대한 그로브너 기저 계산의 계산 비용을 줄이기 위해.
• 핵심 네트워크(중간 종물을 제외)에서의 그로브너 기저를 확장된 네트워크(중간 종물을 포함)로 이론적으로 올리는 프레임워크를 수립하기 위해.
• 중간 종물을 포함한 후에도 정상 상태 이상이 이진성을 유지하는 조건을 규명하기 위해.
• 대규모 네트워크에서 전체 계산을 피하기 위해 중간 종물의 선형 구조를 활용하는 실용적 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 중간 종물이 정상 상태 방정식에서 정방형이고 전위수인 선형 부분계를 형성한다는 사실을 활용한다.
• 중간 변수를 우선시하는 적절한 단항식 순서를 사용하여 핵심 네트워크(중간 종물을 제외)의 그로브너 기저를 계산한다.
• 중간 농도의 선형 부분계 해를 이용해 중간 농도를 대입함으로써 기저를 확장된 네트워크로 올린다.
• 중간 농도를 비중간 종물과 매개변수의 함수로 표현하기 위해 선형 대수를 기반으로 한다.
• 중간 변수가 사전순서로 정렬되고 비중간 변수보다 더 큰 단항식 순서를 선택한다.
• 이진성 탐지에 있어, 핵심 네트워크의 그로브너 기저와 네트워크 구조에 대한 대수적 독립성 조건을 결합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중간 종물을 포함한 반응 네트워크의 정상 상태 이상에 대한 그로브너 기저를 핵심 네트워크에서 먼저 계산한 후 효율적으로 확장된 네트워크로 이전할 수 있는가?
• RQ2 핵심 네트워크의 정상 상태 이상이 이진성일 때, 확장된 네트워크의 정상 상태 이상 역시 이진성이 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 반응 네트워크의 구조를 어떻게 활용하여 그로브너 기저 계산을 가속화하는 적절한 단항식 순서를 식별할 수 있는가?
• RQ4 핵심 네트워크에서 그로브너 기저를 다시 계산하지 않고도 확장된 네트워크로 체계적으로 올리는 방법이 있는가?
• RQ5 효소의 존재는 그로브너 기저 올림 관점에서 중간 종물과 유사하게 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 적절한 단항식 순서를 선택하면, 핵심 네트워크의 정상 상태 이상에 대한 그로브너 기저는 항상 선형 대수를 통해 확장된 네트워크의 그로브너 기저로 올려질 수 있다.
• 핵심 네트워크에서 변수와 다항식의 수가 적기 때문에, 올림 과정을 통해 계산 시간을 크게 줄일 수 있다.
• 핵심 네트워크의 정상 상태 이상이 이진성이고 추가적인 대수적 독립성 조건을 만족한다면, 확장된 네트워크의 정상 상태 이상 역시 이진성이다.
• 대수적 독립성 조건은 표준 반응 네트워크에서 네트워크 구조를 시각적으로 확인할 수 있다.
• 이 방법은 확장된 네트워크에서 전체 그로브너 기저 계산을 피하기 때문에 계산상의 이점이 있다.
• 반면, 효소의 경우 중간 종물과 동일한 방식으로 적용되지 않으며, 이진성 유지가 보장되지 않는 반례를 통해 이는 입증되었다.