[논문 리뷰] Groebner bases over fields with valuations

Andrew J. Chan, Diane Maclagan|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 04.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 p-진 유리수와 같은 계수가 순서가 있는 체 위의 다항식 환으로 그로버 기저 이론을 확장한다. 버처러 알고리즘을 수정하여 계수의 순서를 고려하게 하고, 순서 인식 정규형을 사용한 수정된 모라 탄성원추 알고리즘을 도입한다. 또한 p-진 그로버 기저는 기존 기저보다 훨씬 작을 수 있음을 증명하며, 특히 기저 크기가 일정한 반면 표준 기저는 무한히 증가하는 일련의 아이디얼에 대해 핵심 결과를 제시한다.

ABSTRACT

Let K be a field with a valuation and let S be the polynomial ring S:= K[x_1,..., x_n]. We discuss the extension of Groebner theory to ideals in S, taking the valuations of coefficients into account, and describe the Buchberger algorithm in this context. In addition we discuss some implementation and complexity issues. The main motivation comes from tropical geometry, as tropical varieties can be defined using these Groebner bases, but we also give examples showing that the resulting Groebner bases can be substantially smaller than traditional Groebner bases. In the case K = Q with the p-adic valuation the algorithms have been implemented in a Macaulay 2 package.

연구 동기 및 목표

• Q에 p-진 순서가 있는 체 위의 다항식 환으로 그로버 기저 이론을 확장한다.
• 순서가 있는 체에서는 표준 정규형 알고리즘이 실패하므로, 적절한 écart 함수를 사용한 수정된 모라 탄성원추 알고리즘을 도입하여 이를 해결한다.
• 특히 p-진 경우에서, 순서가 있는 체 위의 그로버 기저는 기존 기저보다 훨씬 작을 수 있음을 보여준다.
• 비자명한 순서, 예를 들어 p-진 순서를 사용할 수 있도록 토로픽 기하학을 위한 계산 프레임워크를 제공한다.
• 계산적 방법을 통해 아이디얼의 토로픽 다양체가 계수 체에만 의존하고 순서에는 영향을 받지 않음을 증명한다.

제안 방법

• 계수의 순서를 고려하기 위해 표준 정규형 계산을 순서 인식 écart 함수를 사용해 수정함으로써 버처러 알고리즘을 수정한다.
• 순서가 있는 체 환경에서의 정지 보장을 위해 표준 정규형 알고리즘을 모라의 원추 알고리즘 변형으로 대체한다.
• 가중치 벡터 w에 대한 초기 아이디얼을 항의 최소 순서로 정의하며, 계수는 순서환의 최대 이상수에 대해 모듈로로 줄인다.
• 순서환의 잔여체를 사용해 초기 형식을 정의함으로써, 체 위의 다항식 환에서의 초기 아이디얼을 구성할 수 있다.
• 표준 초기 아이디얼의 생성자 수를 유 bounds하기 위해 스탠리 분해와 힐베르트 함수의 응용을 사용한다.
• 프로젝티브 공간의 열린 집합과 변수 수에 대한 귀납법을 사용하여, 좌표의 순서를 초면을 제외한 외부에서 임의로 지정할 수 있음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 알고리즘이 정지하지 않는 p-진 순서가 있는 Q와 같은 체 위의 다항식 환으로 그로버 기저 알고리즘을 확장할 수 있는가?
• RQ2 특히 p-진 경우에서, 순서가 있는 체 위의 그로버 기저 크기는 표준 체 위의 기저 크기와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ3 아이디얼의 토로픽 다양체와 계수 체 사이의 관계는 무엇이며, 이를 계산적으로 증명할 수 있는가?
• RQ4 순서가 존재하는 상황에서 가중치 벡터에 대한 초기 아이디얼을 효과적으로 계산할 수 있으며, 어떤 성질을 상속하는가?
• RQ5 p-진 그로버 기저는 작지만 표준 그로버 기저는 무한히 증가하는 아이디얼을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 Q[x₁,x₂,x₃]에서 두 개의 동차 생성자를 가진 일련의 아이디얼을 구성하며, 이들에서 2-진 그로버 기저의 크기는 일정하지만, 최소 표준 그로버 기저는 d에 따라 무한히 증가한다.
• 모든 항 순서에서 이러한 아이디얼의 표준 초기 아이디얼은 최소 1/2(d+3)개의 생성자를 가져, 초선형 하한을 보여준다.
• 2-진 초기 아이디얼은 ⟨x₁^d, x₂^e x₃^e⟩이며, 이는 2-진 순서에서 0 가중치 벡터에 대해 그로버 기저이다.
• 이상 I의 힐베르트 함수는 d ≤ t < 2d일 때 2(t−d+2 choose 2)이며, 이는 표준 초기 아이디얼의 생성자 수에 대한 하한을 유도하는 데 사용된다.
• 아이디얼의 토로픽 다양체는 계수의 생성자에서 생성된 체에만 의존하며, 순서에는 영향을 받지 않으며, 계산적 증명을 통해 이를 보였다.
• 저자들은 알고리즘을 Macaulay2 패키지인 GrobnerValuations에 구현하였으며, gfan에 사전 버전이 제공되어 있다.