[논문 리뷰] Gromov-Hausdorff ultrametric

Ihor Zarichnyi|ArXiv.org|2005. 11. 17.

advanced mathematical theories참고 문헌 3인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 초등거리 공간에 대해 Gromov-Hausdorff 유형의 거리함수 $\varrho_{GHu}$를 도입하며, 이가 강한 삼각부등식을 만족함을 증명함으로써 이러한 공간들의 등장사상 클래스 위에 초등거리공간을 이룬다. 주요 결과로는, 0이 고립점이 아닌 고정된 가산 집합 $K \subset \mathbb{R}_+$ 에 거리가 포함된 초등거리공간의 공간이 무리수의 공간과 위상동형임을 보여준다.

ABSTRACT

We show that there exists a natural counterpart of the Gromov-Hausdorff metric in the class of ultrametric spaces. It is proved, in particular, that the space of all ultrametric spaces whose metric take values in a fixed countable set is homeomorphic to the space of irrationals.

연구 동기 및 목표

• 초등거리공간의 클래스 내에서 Gromov-Hausdorff 거리함수의 자연스러운 대응체를 정의하는 것.
• 제안된 거리함수 $\varrho_{GHu}$ 가 강한 삼각부등식을 만족함을 증명하여 컴팩트 초등거리공간들의 등장사상 클래스 위에 초등거리공간을 정의하는 것.
• 고정된 가산 집합 $K \subset \mathbb{R}_+$ 에서 거리가 포함된 초등거리공간의 공간 $U(K)$ 의 위상적 구조를 조사하는 것.
• 0이 $K$ 의 고립점이 아닌 조건에서 $U(K)$ 의 위상동형 타입을 규명하는 것.

제안 방법

• 컴팩트 초등거리공간 $X$ 와 $Y$ 가 공통의 초등거리공간 $Z$ 에 등장사상으로 통합될 수 있는 경우, 그들의 Hausdorff 거리의 하한으로 $\varrho_{GHu}(X,Y)$ 를 정의한다.
• 초등거리공간의 컴팩트 부분집합 위의 Hausdorff 거리함수가 강한 삼각부등식을 만족함을 이용하여, 이가 초등거리공간임을 증명한다.
• 두 초등거리공간이 교차부분에서 일치할 때, 공식 $d(x_1,x_2) = \inf_{a \in A} \max\{d_1(x_1,a), d_2(a,x_2)\}$ 를 사용하여 그 합집합 위에 거리함수를 구성하고, 초등거리조건을 만족함을 검증한다.
• 거리가 고정된 가산 집합 $K \subset \mathbb{R}_+$ 에 포함되고 0을 포함하는 초등거리공간의 공간 $U(K)$ 가 컴팩트 초등거리공간 전체의 공간 $U$ 의 닫힌 부분공간임을 보인다.
• 유한한 $\varepsilon$-네트워크 구성과 작은 거리에서 새로운 점을 추가하는 변형을 통해 $U(K)$ 가 분리 가능하고 국소적으로 컴팩트하지 않음을 보인다.
• 기타 기술적 결과를 활용하여, 0이 $K$ 의 고립점이 아닐 경우 $U(K)$ 가 무리수의 공간과 위상동형임을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초등거리공간의 클래스 내에서 Gromov-Hausdorff 거리함수의 자연스러운 유사체가 존재하는가?
• RQ2 제안된 거리함수 $\varrho_{GHu}$ 가 컴팩트 초등거리공간들의 등장사상 클래스 위에 초등거리공간을 정의하는가?
• RQ3 고정된 가산 집합 $K \subset \mathbb{R}_+$ 에서 거리가 포함되고 0을 포함하는 초등거리공간의 공간 $U(K)$ 의 위상적 구조는 무엇인가?
• RQ4 0이 $K$ 의 고립점이 아닐 경우 $U(K)$ 는 무리수의 공간과 위상동형인가?
• RQ5 Gromov-Hausdorff 프레임워크는 균일하게 분리된 공간이나 실수 트리와 같은 다른 종류의 거리공간으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• $\varrho_{GHu}$ 는 잘 정의되어 있으며 강한 삼각부등식을 만족하므로 컴팩트 초등거리공간들의 등장사상 클래스 위에 초등거리공간을 이룬다.
• 거리가 $[1/2,1]$ 에서 $c_1 \neq c_2$ 인 두 점을 가진 서로 다른 두 점 초등거리공간에 대해 $\varrho_{GHu}(X_{c_1}, X_{c_2}) \geq 1/4$ 이며, 이는 비등장사상 공간들 사이에 양의 하한을 보여준다.
• 거리가 고정된 가산 집합 $K \subset \mathbb{R}_+$ 에 포함되고 0을 포함하는 초등거리공간의 공간 $U(K)$ 는 컴팩트 초등거리공간 전체의 공간 $U$ 의 닫힌 부분공간이다.
• $U(K)$ 는 분리 가능하다. 이는 거리가 $K$ 에 포함된 유한한 초등거리공간들의 부분공간이 $U(K)$ 에 밀도를 이룬다는 점에서 유도된다.
• $U(K)$ 는 국소적으로 컴팩트하지 않다. 이는 임의의 주어진 공간 주변의 작은 이웃 안에 무한한 이산집합을 구성함으로써 증명된다.
• 0이 $K$ 의 고립점이 아닐 경우, $U(K)$ 는 위상적 성질과 기술적 결과를 활용하여 무리수의 공간과 위상동형임을 증명하였다.