[논문 리뷰] Gromov-Monge quasi-metrics and distance distributions

Facundo Mémoli, Tom Needham|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 23.

Topological and Geometric Data Analysis인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 최적 운반과 Gromov-Hausdorff 아이디어를 융합하여 측도를 갖춘 거리 공간을 비교하기 위한 새로운 준거리인 Gromov-Monge 거리를 소개한다. 이 거리가 특정 부분집합에서 진정한 거리공간이 되는 것을 증명하고, 거리 분포를 이용한 다항식 시간에 계산 가능한 하한을 유도한다. 이러한 하한은 국소적으로 거리 트리를 구별하고, 평면 곡선에 대한 Curve Histogram 추측을 반증한다.

ABSTRACT

Applications in shape analysis and object classification often require maps between metric spaces which preserve geometry as much as possible. In this paper, we combine the Monge formulation of optimal transport with the Gromov-Hausdorff construction to define a measure of the minimum amount of geometric distortion required to map one metric measure space onto another. We show that the resulting quantity, called Gromov-Monge distance, defines an extended quasi-metric on the space of isomorphism classes of metric measure spaces and that it can be promoted to a true metric on certain subclasses of mm-spaces. We also give precise comparisons between Gromov-Monge distance and several other metrics which have appeared previously, such as the Gromov-Wasserstein metric and the continuous Procrustes metric. Finally, we derive polynomial-time computable lower bounds for Gromov-Monge distance. These lower bounds are expressed in terms of classical invariants of mm-spaces called distance distributions. In the second half of the paper, which may be of independent interest, we study the discriminative power of these lower bounds for simple subclasses of metric measure spaces. We first consider the case of planar curves, where we give a counterexample to the Curve Histogram Conjecture of Brinkman and Olver. Next we show that one of our lower bounds distinguishes metric trees locally---trees which lie sufficiently close to one another in Gromov-Hausdorff distance are always distinguished---and generically with respect to a natural measure on the space of trees.

연구 동기 및 목표

• 최적 운반과 Gromov-Hausdorff 아이디어를 융합하여 측도를 갖춘 거리 공간 간의 새로운 기하학적 거리공간을 정의하기.
• Gromov-Monge 거리의 이론적 성질을 확립하기—특히 이가 준거리로서의 구조와 진정한 거리공간이 되는 조건.
• 기본적인 불변량인 거리 분포를 이용해 Gromov-Monge 거리의 계산 효율적인 하한을 도출하기.
• 특정 측도를 갖춘 거리 공간의 부분집합, 예를 들어 평면 곡선과 거리 트리에서 이러한 하한의 구별 능력을 평가하기.

제안 방법

• Gromov-Monge 거리를 최적 운반의 Monge 공식화를 사용하여 한 측도를 갖춘 거리 공간에서 다른 측도를 갖춘 거리 공간으로 매핑하기 위해 필요한 최소 기하학적 왜곡으로 정의한다.
• Gromov-Hausdorff 프레임워크를 적용하여 mm-공간 간의 왜곡 척도를 정의함으로써, 동형류에 대한 확장된 준거리공간을 도출한다.
• 거리 분포—즉, 공간 내 쌍별 거리의 확률 분포—기반으로 Gromov-Monge 거리의 다항식 시간에 계산 가능한 하한을 도출한다.
• 이러한 하한을 사용하여 mm-공간의 부분집합, 특히 평면 곡선과 거리 트리에서 거리의 구별 능력을 분석한다.
• 반례와 국소 분석을 활용하여 하한의 효과성을 시험하며, 이는 Brinkman와 Olver의 Curve Histogram 추측을 반증하는 데 포함된다.
• 나무 공간 위의 자연스러운 측도에 대해 일반성 결과를 적용하여 하한이 나무를 국소적으로도, 일반적으로도 구별함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적 운반과 Gromov-Hausdorff 아이디어를 융합함으로써 Gromov-Monge 거리가 측도를 갖춘 거리 공간 간의 의미 있는 기하학적 거리공간으로 정의될 수 있는가?
• RQ2 Gromov-Monge 거리가 준거리가 아니라 진정한 거리공간이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 거리 분포 기반으로 도출된 하한이 측도를 갖춘 거리 공간을 얼마나 효과적으로 구별하는가?
• RQ4 이러한 하한은 평면 곡선에 대한 Curve Histogram 추측을 반증하는가?
• RQ5 이 하한은 거리 트리를 국소적으로도, 일반적으로도 구별할 수 있는가?

주요 결과

• Gromov-Monge 거리는 측도를 갖춘 거리 공간의 동형류 공간 위에서 확장된 준거리공간으로 증명되었다.
• Gromov-Monge 거리는 일부 mm-공간의 부분집합에서 진정한 거리공간이 되며, 이는 이 거리의 이론적 탄탄함을 확인한다.
• 거리 분포를 기반으로 Gromov-Monge 거리의 다항식 시간에 계산 가능한 하한이 도출되었으며, 이는 효율적인 계산을 가능하게 한다.
• Brinkman와 Olver의 평면 곡선에 대한 Curve Histogram 추측을 반증하는 반례가 제시되었다.
• 하한 중 하나는 거리 트리를 국소적으로 구별한다—즉, Gromov-Hausdorff 거리에서 가까운 트리는 항상 구별되며, 나무 공간 위의 자연스러운 측도에 대해 일반적으로도 구별된다.