[논문 리뷰] Gromov-Wasserstein Distances between Gaussian Distributions

Antoine Salmona, Julie Delon외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 16.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 25인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 제곱 유클리드 비용을 사용하여 가우시안 분포 간의 그로모프-워서르스타인(Gromov-Wasserstein, GW) 거리를 연구한다. 최적의 커플링이 가우시안 계획으로 제한될 경우, GW 문제는 선형 해와 동일한 선형 해로 축소되며, 이러한 제약 없이 일반적인 GW 거리에 대해 날카러운 하한 및 상한을 제공한다.

ABSTRACT

The Gromov-Wasserstein distances were proposed a few years ago to compare distributions which do not lie in the same space. In particular, they offer an interesting alternative to the Wasserstein distances for comparing probability measures living on Euclidean spaces of different dimensions. In this paper, we focus on the Gromov-Wasserstein distance with a ground cost defined as the squared Euclidean distance and we study the form of the optimal plan between Gaussian distributions. We show that when the optimal plan is restricted to Gaussian distributions, the problem has a very simple linear solution, which is also solution of the linear Gromov-Monge problem. We also study the problem without restriction on the optimal plan, and provide lower and upper bounds for the value of the Gromov-Wasserstein distance between Gaussian distributions.

연구 동기 및 목표

• 기본 비용이 제곱 유클리드 거리인 가우시안 분포 간의 그로모프-워서르스타인 거리를 특성화하는 것.
• 커플링이 가우시안 계획으로 제한될 경우 최적의 커플링의 구조를 조사하는 것.
• 커플링 제약 없이 가우시안 간의 GW 거리에 대해 분석적 하한 및 상한을 유도하는 것.
• 가우시안 제약 조건 하에서 GW 문제와 선형 그로모프-몽게 문제 사이의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 저자는 두 가우시안 측도의 곱 공간에서 제곱 유클리드 비용을 사용하여 그로모프-워서르스타인 문제를 수립한다.
• 커플링 자체가 가우시안 분포임을 제약 조건으로 하여 최적의 커플링을 유도하며, 이는 선형 해로 이어진다.
• 트레이스 항등식과 행렬 대각화를 사용하여 타당한 커플링 공간에서 GW 목표 함수를 최소화한다.
• 행렬 행렬식 보조정리와 고유값 분석을 적용하여 유도된 공분산 구조의 준정부호성을 검증한다.
• 귀납법과 벡터 주도화를 사용하여 단위 구면 상의 순서된 벡터를 포함하는 핵심 부등식을 증명한다.
• 커플링 매개변수의 극단적 구성 요소를 분석하여 GW 거리에 대한 경계를 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소스 및 타겟 분포가 모두 가우시안일 경우 최적의 그로모프-워서르스타인 커플링은 어떤 형태를 갖는가?
• RQ2 최적의 커플링이 가우시안으로 제한될 경우 가우시안 간의 GW 거리는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 커플링 제약 없이 가우시안 간의 GW 거리에 대해 날카로운 분석적 하한 및 상한을 도출할 수 있는가?
• RQ4 가우시안 측도에 대해 그로모프-워서르스타인 문제와 선형 그로모프-몽게 문제 사이에 연결 고리가 존재하는가?
• RQ5 공분산 행렬과 평균은 가우시안 간의 GW 거리를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 최적의 커플링이 가우시안 분포로 제한될 경우, 그로모프-워서르스타인 문제는 선형 해를 갖는 닫힌 형태의 해를 가지며, 이는 선형 그로모프-몽게 문제의 해와 정확히 일치한다.
• 소스 및 타겟이 가우시안일 경우 최적의 커플링은 특정한 애파인 변환 구조를 갖는 탈중립 가우시안 측도이다.
• 저자는 공분산 행렬의 트레이스와 그 기하 평균을 바탕으로 GW 거리에 대한 하한을 도출한다.
• 평균 벡터의 외적과 정규화된 공분산 행렬을 사용하여 타당한 커플링을 구성함으로써 상한을 확립한다.
• 커플링이 공분산 행렬의 주성분과 일치할 경우 가장 날카로운 하한이 달성된다.
• 증명에서 사용된 핵심 부등식의 등호가 성립하는 경우는 한 벡터가 첫 번째 표준 기저 벡터와 일치하고 다른 벡터가 단위 구면 위에서 균일하게 분포할 때이다.