[논문 리뷰] Gromov-Witten invariants and pseudo symplectic capacities

Guangcun Lu|ArXiv.org|2001. 03. 28.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 52인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 호모로지 클래스를 포함하는 심플렉틱 용량의 일반화인 가짜 심플렉틱 용량을 도입하고, 그로모프-윈터 불변량을 통해 추정되는 호퍼-체른더 유형의 가짜 용량을 구축한다. 비압축성 정리들을 수립하고, 심플렉틱 유니루프 다발 위의 코타angent 다발에 대해 와이너 추측을 증명하며, 그라스만이안과 곱 다발의 용량을 계산하여, 그로모프-윈터 불변량을 통해 심플렉틱 위상수학과 수세계 기하학을 연결한다.

ABSTRACT

We introduce the concept of pseudo symplectic capacities which is a mild generalization of that of symplectic capacities. As a generalization of the Hofer-Zehnder capacity we construct a Hofer-Zehnder type pseudo symplectic capacity and estimate it in terms of Gromov-Witten invariants. The (pseudo) symplectic capacities of Grassmannians and some product symplectic manifolds are computed. As applications we first derive some general nonsqueezing theorems that generalize and unite many previous versions, then prove the Weinstein conjecture for cotangent bundles over a large class of symplectic uniruled manifolds (including the uniruled manifolds in algebraic geometry) and also show that any closed symplectic submanifold of codimension two in any symplectic manifold has a small neighborhood whose Hofer-Zehnder capacity is less than a given positive number. Finally, we give two results on symplectic packings in Grassmannians and on Seshadri constants.

연구 동기 및 목표

• 호모로지 클래스를 통합함으로써 심플렉틱 용량을 일반화하고, 가짜 심플렉틱 용량의 개념을 도출하는 것.
• 가짜 용량을 갖는 호퍼-체른더 유형의 가짜 용량을 구축하고, 그를 그로모프-윈터 불변량을 통해 추정하는 것.
• 그라스만이안과 곱 심플렉틱 다발에 대한 가짜 용량을 계산하는 것.
• 이전 버전을 통합하는 일반화된 비압축성 정리들을 수립하는 것.
• 심플렉틱 유니루프 다발 위의 코타angent 다발에 대해 와이너 추측을 증명하고, 코디멘션-두 부분다발 주변의 작은 이웃을 분석하는 것.

제안 방법

• 호모로지 클래스에 대해 의사 단조성, 동차성, 비자명성 공리계를 만족하는 $G_k$-가짜 심플렉틱 용량을 정의한다.
• 호퍼-체른더 유형의 가짜 용량을 $c^{(k)}(M,\omega;\alpha_1,\dots,\alpha_k)$ 를 사용하여 구축하고, $A$를 표현하는 $J$-홀로모르픽 원판의 최소 작용과 호모로지 클래스 제약 조건을 연결한다.
• 그로모프-윈터 불변량 $\Psi^{M}_{A,0,3}(pt;\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 를 통해 가짜 용량을 추정한다. 이는 특정 호모로지 클래스를 통과하는 $J$-홀로모르픽 원판의 수를 세는 것이다.
• 전이성과 평가 사상 $\mathrm{EV}^{J,A}_{0,3}$ 을 사용하여 교차수로 정의하고, 그로모프-윈터 불변량을 계산한다.
• 곱에 대해 $\Psi^{M}_{A,0,3} = \prod_{k=1}^m \Psi^{M_k}_{A_k,0,3}$ 를 만족함으로써, $M = \prod M_k$, $A = \sum A_k$ 일 때, 불변량의 곱성질을 증명하고, 곱 다발에서 용량의 행동을 확립한다.
• 이 이론을 적용하여 그라스만이안과 곱 다발의 용량을 계산하고, 심플렉틱 팩킹과 세샤드리 상수에의 응용을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱 용량은 어떻게 호모로지 클래스를 포함하여 일반화될 수 있으며, 그러한 일반화가 만족해야 할 공리들은 무엇인가?
• RQ2 호모로지 데이터를 가진 다발에 대해 호퍼-체른더 유형의 용량을 정의할 수 있는가? 그리고 그를 그로모프-윈터 불변량을 통해 어떻게 추정할 수 있는가?
• RQ3 그라스만이안과 곱 심플렉틱 다발의 가짜 심플렉틱 용량은 무엇인가?
• RQ4 일반화된 비압축성 정리는 이전의 결과들을 통합하거나 확장하는가?
• RQ5 심플렉틱 유니루프 다발 위의 코타angent 다발에 대해 와이너 추측이 성립하는가? 그리고 이는 부분다발 주변의 폐쇄 궤도에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• $($\mathbb{C}P^n$, \sigma_n)$ 에 대한 가짜 심플렉틱 용량은 $\pi$ 이며, 표준 호퍼-체른더 용량과 일치한다.
• 그로모프-윈터 불변량 $\Psi^{M}_{A,0,3}(pt;\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 는 곱에 대해 곱성질을 가진다: $\Psi^{\prod M_k}_{A,0,3} = \prod \Psi^{M_k}_{A_k,0,3}$ for indecomposable $A_k$.
• 심플렉틱 다발 내의 코디멘션-두 부분다발의 임의의 닫힌 심플렉틱 부분다발에 대한 호퍼-체른더 용량은 그 이웃을 작게 만들면 임의로 작게 만들 수 있다.
• 와이너 추측은 심플렉틱 유니루프 다발 위의 코타angent 다발에 대해 성립하며, 이는 대수기하학 내의 경우에도 해당된다.
• 논문은 가짜 용량 프레임워크를 통해 이전의 버전을 통합하고 확장하는 일반화된 비압축성 정리를 증명한다.
• 구축된 가짜 용량과 그로모프-윈터 불변량을 통해 그라스만이안의 세샤드리 상수와 심플렉틱 팩킹이 유계가 됨을 도출한다.