[논문 리뷰] Gromov-Witten invariants of $\mathbb{P}^1$ coupled to a KdV tau function

Paul Norbury|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 39인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 KdV 계열의 Brézin-Gross-Witten 타우 함수로부터 유도된 코homology 계열 $Θ_{g,n}$ 와 안정 사상의 모듈리 공간을 결합하여 $π^1$ 에 대한 $Θ$-Gromov-Witten 불변량을 도입한다. 이 불변량들이 무작위 행렬 적분에 의해 지배되며 Toda 방정식를 만족함을 증명하여, Gromov-Witten 이론, 적분 가능 체계, 행렬 모델 간의 새로운 연결 고리를 제공한다.

ABSTRACT

We consider the pull-back of a natural sequence of cohomology classes $Θ_{g,n}\in H^{2(2g-2+n)}(\overline{\cal M}_{g,n})$ to the moduli space of stable maps ${\cal M}^g_n(\mathbb{P}^1,d)$. These classes are related to the Brézin-Gross-Witten tau function of the KdV hierarchy via $Z^{BGW}(\hbar,t_0,t_1,...)=\exp\sum\frac{\hbar^{2g-2}}{n!}\int_{\overline{\cal M}_{g,n}}Θ_{g,n}\cdot\prod_{j=1}^nψ_j^{k_j}\prod t_{k_j}$. Insertions of the pull-backs of the classes $Θ_{g,n}$ into the integrals defining Gromov-Witten invariants define new invariants which we show in the case of target $\mathbb{P}^1$ are given by a random matrix integral and satisfy the Toda equation.

연구 동기 및 목표

• Gromov-Witten 불변량을 Brézin-Gross-Witten 타우 함수로부터 유도된 코homology 계열 $Θ_{g,n}$ 와 결합하여 $Θ$-Gromov-Witten 불변량을 정의하고 연구하기.
• 특히 생성 함수와 적분 가능성 성질을 포함한 목표 공간 $π^1$ 에 대한 이러한 불변량의 구조를 조사하기.
• $Θ$-Gromov-Witten 불변량과 무작위 행렬 적분 간의 연결 고리를 확립하여 이러한 불변량의 새로운 실현을 제공하기.
• 이 불변량들이 Toda 방정식를 만족함을 보여주어 잠재적인 적분 가능 체계의 구조를 드러내기.

제안 방법

• 가상 기본류를 가진 $\overline{\cal M}_{g,n}(\mathbb{P}^1,d)$ 위에서 $Θ_{g,n}^{X}$ 의 당김 계열을 통합하여 $Θ$-Gromov-Witten 불변량을 정의하기.
• 모듈리 공간 $\overline{\cal M}_{g,n}$ 에서의 계열 $\Theta_{g,n}$ 을 잊기 맵 $p: \overline{\cal M}_{g,n}(\mathbb{P}^1,d) \to \overline{\cal M}_{g,n}$ 을 통해 당김하기.
• 삽입항으로 $\tau_k(\omega)$ 와 $\tau_k(1)$ 을 포함한 불변량의 생성 함수로부터 자유 에너지 $F^\Theta_{\mathbb{P}^1}$ 과 분할 함수 $Z^\Theta_{\mathbb{P}^1}$ 을 구성하기.
• $\hbar = N^{-1}$ 과 $t_k = 0$ 으로 설정할 때, 분할 함수가 무작위 행렬 적분의 점근 전개와 일치함을 증명하기. 적분 영역은 $[-2,2]^N$ 이고, 바르멘드 행렬식이 포함된다.
• 양자 곡선과 파동 함수의 구조를 분석하여 분할 함수에 대한 Toda 방정식를 유도하기.
• Toda 방정식와 Dilaton 방정식를 사용하여 0점 불변량과 $\lambda_{g-1}$, $\Theta_g$ 를 포함한 호지 적분을 계산하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다음과 같은 $\mathbb{P}^1$ 에 대한 $Θ$-Gromov-Witten 불변량은 무작위 행렬 적분과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 이 불변량들이 Toda 방정식를 만족하는가? 만약 그렇다면, 이는 어떤 방식으로 적분 가능 체계의 구조를 반영하는가?
• RQ3 0점 $Θ$-Gromov-Witten 불변량의 명시적 형태는 무엇이며, 호드 적분과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 분할 함수는 행렬 모델 적분의 점근 전개로 표현될 수 있는가?
• RQ5 $Θ$-계열이 모듈리 공간 $\overline{\cal M}_g$ 에서 호드 계열 $\lambda_{g-1}$ 과 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• 분할 함수 $Z^\Theta_{\mathbb{P}^1}$ 는 다음과 같이 무작위 행렬 적분의 점근 전개와 일치함을 보였다: $Z^\Theta_{\mathbb{P}^1}(\hbar=N^{-1}, \{s_k\}, \{t_k=0\}) = \frac{c}{N!} \int_{[-2,2]^N} \prod_{i<j}(x_i - x_j)^2 \exp\left(N \sum_{k \geq 0} s_k \sum_{i=1}^N x_i^{k+1}\right) dx_1 \cdots dx_N$.
• 0점 $Θ$-Gromov-Witten 불변량은 $F_g = \frac{(1 - 2^{-2g})}{g(g-1)} B_{2g}$ 를 만족한다. 여기서 $B_{2g}$ 는 베르누이 수이다.
• 생성 함수 $\sum_{g>1} \hbar^{2g-2} \int_{\overline{\cal M}_g} \lambda_{g-1} \Theta_g$ 는 $\frac{1}{128}\hbar^2 + \frac{1}{512}\hbar^4 + \frac{17}{12288}\hbar^6 + \cdots$ 로 주어진다.
• 1점 및 2점 불변량은 양자 곡선에 의해 계산된다: $H_1(\hbar) = \hbar^{-2} + \frac{1}{4 - \hbar^2}$, 그리고 $G_1(\hbar) = -\hbar^{-2} + \frac{1}{4 - \hbar^2}$.
• 분할 함수는 Toda 방정식를 만족한다: $\frac{Z_0(\frac{\hbar}{1-\hbar}) Z_0(\frac{\hbar}{1+\hbar})}{Z_0(\hbar)^2} = \frac{4}{4 - \hbar^2}$, 이는 0점 시리즈를 결정한다.
• 0점 불변량은 $Z_0 = \exp\left(\sum \left(\frac{\hbar}{1 - t_0}\right)^{2g-2} F_g\right)$ 를 만족하며, 호드 적분은 Dilaton 방정식와 $\int_{\overline{\cal M}_{g,n+1}} \lambda_{g-1} \Theta_{g,n+1} = (2g - 2 + n) \int_{\overline{\cal M}_{g,n}} \lambda_{g-1} \Theta_{g,n}$ 를 통해 결정된다.