[논문 리뷰] Gromov-Witten theory of etale gerbes, I: root gerbes

Elena Andreini, Yunfeng Jiang외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 07. 13.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 기저 다양체 $X$ 에 대한 고찰을 바탕으로, 근 gerbe $√[r]{\mathcal{L}/X}$ 로의 고리수 0 낫스테이블 매핑의 모듈리 스택을 구성하고, 고리수 0 그로모프-윈터 인버리언트가 $X$ 의 인버리언트로 어떻게 정확하게 표현되는지를 나타내는 정확한 공식을 수립함으로써, 에탈 gerbe의 맥락에서 그로모프-윈터 이론에 대한 정밀한 계산 도구를 제공한다.

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth complex projective algebraic variety. Given a line bundle $\mathcal{L}$ over $X$ and an integer $r>1$ one defines the stack $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ of $r$-th roots of $\mathcal{L}$. Motivated by Gromov-Witten theoretic questions, in this paper we analyze the structure of moduli stacks of genus $0$ twisted stable maps to $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$. Our main results are explicit constructions of moduli stacks of genus $0$ twisted stable maps to $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ starting from moduli stack of genus $0$ stable maps to $X$. As a consequence, we prove an exact formula expressing genus $0$ Gromov-Witten invariants of $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ in terms of those of $X$.

연구 동기 및 목표

• 루트 gerbe $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ 로의 고리수 0 낫스테이블 매핑의 모듈리 스택의 구조를 이해하는 것.
• 대부분의 대수적 스택과 gerbe의 맥락에서 발생하는 그로모프-윈터 이론적 질문을 다루는 것.
• 루트 gerbe와 기저 다양체 $X$ 의 그로모프-윈터 인버리언트 사이의 정확한 관계를 확립하는 것.
• 기존의 $X$ 에 대한 자료로부터 낫스테이블 매핑 모듈리 스택을 명시적으로 구성하는 것.

제안 방법

• 기저 다양체 $X$ 로의 고리수 0 안정적 매핑의 모듈리 스택을 이용하여, $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ 로의 고리수 0 낫스테이블 매핑의 모듈리 스택을 구성한다.
• 루트 gerbe의 맥락에서 낫스테이블 매핑 이론을 적용하여, 스택 이론적 구조를 활용한다.
• 자연스러운 사상 $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X} \to X$ 를 이용하여 매핑을 올리고 낫스테이블 구조를 분석한다.
• 등급화 및 스택 이론적 기법을 활용하여 모듈리 문제에서 오르비포인트와 gerbe의 구조를 제어한다.
• 국소화 및 고장 이론을 통해 루트 gerbe의 인버리언트와 $X$ 의 인버리언트 사이의 보편 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 루트 gerbe $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ 로의 고리수 0 낫스테이블 매핑은 기저 다양체 $X$ 로의 매핑과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 고리수 0 낫스테이블 매핑의 모듈리 스택이 $X$ 의 것에서 명시적으로 구성될 수 있는가?
• RQ3 루트 gerbe의 고리수 0 그로모프-윈터 인버리언트와 $X$ 의 인버리언트 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 gerbe의 구조는 고리수 0의 경우 그로모프-윈터 인버리언트에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 고리수 0 낫스테이블 매핑의 모듈리 스택이 $X$ 로의 고리수 0 안정적 매핑의 모듈리 스택에서 명시적으로 구성된다.
• 루트 gerbe $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ 의 고리수 0 그로모프-윈터 인버리언트는 $X$ 의 인버리언트로 정확한 공식으로 표현된다.
• 공식은 루트 차수 $r$ 과 관련된 곱셈 계수를 통해 gerbe의 구조 기여를 반영한다.
• 구성은 모듈리 공간의 가상 기본 클래스와 고장 이론과 호환된다.
• 결과는 기저 다양체의 인버리언트를 사용하여 루트 gerbe의 인버리언트를 체계적으로 계산할 수 있는 방법을 제공한다.
• 이 방법은 모든 매끄러운 복소 프로젝티브 다양체와 모든 정수 $r > 1$ 에 대해 적용 가능하다.