[논문 리뷰] Gromov-Witten theory of orbicurves, the space of tri-polynomials and Symplectic Field Theory of Seifert fibrations

Paolo Rossi|ArXiv.org|2008. 08. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 삼항다항식 $F(x,y,z) = -xyz + P_1(x) + P_2(y) + P_3(z)$ 에서 정의된 프로베누스 다양체와 $\pi^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$ 의 궤도 Gromov-Witten 이론 사이의 거울 동형을 확장된 심플렉틱 필드 이론을 사용하여 수립한다. 이는 종수 0의 잠재함수를 계산하고, 다항수학적 양자 cohomology 가 정확히 $\mathbb{P}^1_{2,2,r}$, $\mathbb{P}^1_{2,3,3}$, $\mathbb{P}^1_{2,3,4}$, $\mathbb{P}^1_{2,3,5}$ 에서 발생함을 증명하며, 이러한 궤도에 대한 Seifert fibration 의 명시적 SFT-ハミル토니안을 제공한다.

ABSTRACT

We compute, with Symplectic Field Theory techniques, the Gromov-Witten theory of the complex projective line with orbifold points. A natural subclass of these orbifolds, the ones with polynomial quantum cohomology, gives rise to a family of (polynomial) Frobenius manifolds and integrable systems of Hamiltonian PDEs, which extend the (dispersionless) bigraded Toda hierarchy. We then define a Frobenius structure on the spaces of polynomials in three complex variables of the form F(x,y,z)= -xyz+P_1(x)+P_2(y)+P_3(z) which contains as special cases the ones constructed on the space of Laurent polynomials. We prove a mirror theorem stating that these Frobenius structures are isomorphic to the ones found before for polynomial P1-orbifolds. Finally we link rational Symplectic Field Theory of Seifert fibrations over S^2 and three singular fibers with orbifold Gromov-Witten invariants of the base, extending a known result valid in the smooth case.

연구 동기 및 목표

• 확장된 심플렉틱 필드 이론을 사용하여 $\mathbb{P}^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$ 의 종수 0 궤도 Gromov-Witten 잠재함수를 계산하는 것.
• 다항수학적 양자 cohomology 를 갖는 궤도곡선의 하위집합을 식별하고, 이에 대응하는 다항수학적 프로베누스 다양체를 구성하는 것.
• 고정된 차수 $p,q,r$ 를 가진 삼항다항식 $F(x,y,z) = -xyz + P_1(x) + P_2(y) + P_3(z)$ 의 공간에 프로베누스 구조를 정의하는 것.
• 이러한 삼항다항식 프로베누스 다양체와 $\mathbb{P}^1_{p,q,r}$-궤도의 양자 cohomology 사이의 동형을 보장하는 거울 정리를 증명하는 것.
• 기존의 매끄러운 경우에 알려진 결과를 일반화하여, Seifert fibration 의 유리 SFT 와 궤도 기저의 궤도 Gromov-Witten 불변량 사이의 대응을 확장하는 것.

제안 방법

• 2차원 타겟 코버디즘에 $\mathbb{Z}_k$-특이점을 포함하도록 심플렉틱 필드 이론을 확장하여, 궤도 매핑의 인덱스 공식과 등급을 수정하는 것.
• 허리츠 수를 사용하여 궤도 cohomology 변수에 대한 멱급수로 $\mathbb{P}^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$ 의 종수 0 Gromov-Witten 잠재함수를 계산하는 것.
• 잔여쌍대성과 오일러 벡터장으로 삼항다항식 $F(x,y,z) = -xyz + P_1(x) + P_2(y) + P_3(z)$ 의 공간에 프로베누스 다양체 구조를 정의하는 것.
• Seifert fibration $V$ 의 유리 SFT 잠재함수와 궤도 Gromov-Witten 잠재함수 사이의 명시적 적분 공식을 유도하며, $x \in [0, 2\pi \alpha_1\cdots\alpha_a]$ 에서의 푸리에 유형 적분을 사용하는 것.
• 두브로빈과 장의 재구성 정리를 사용하여 $M_{2,2,r}$ 과 $M(D_{r+2},r)$ 사이의 동형을 증명하며, 단위 벡터, 오일러 벡터, 교차 계량을 일치시키는 것.
• 궤도 Poincaré 쌍대성과 차수 이동 수 $\iota_n = \frac{l}{\alpha_i}$ 를 사용하여 SFT 프레임워크 내에서 포아송 구조와 등급을 정의하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 궤도곡선 $\mathbb{P}^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$ 에서 Gromov-Witten 잠재함수가 짝수 궤도 cohomology 변수에 대한 다항식으로 잘리게 되는가?
• RQ2 고정된 차수 $p,q,r$ 를 가진 삼항다항식 $F(x,y,z) = -xyz + P_1(x) + P_2(y) + P_3(z)$ 의 공간에 프로베누스 다양체를 구성할 수 있으며, 어떤 조건에서 다항식이 되는가?
• RQ3 삼항다항식 프로베누스 다양체 $M_{p,q,r}$ 와 궤도 양자 cohomology $QH^*_{\text{orb}}(\mathbb{P}^1_{p,q,r})$ 사이에 거울 동형이 존재하는가?
• RQ4 Seifert fibration $V$ 의 유리 SFT-ハミルトニ안은 궤도 Gromov-Witten 불변량을 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ5 기저의 Gromov-Witten 잠재함수와 prequantization bundle $V$ 의 SFT 잠재함수 사이의 정확한 관계는 무엇이며, 이는 매끄러운 경우를 일반화하는가?

주요 결과

• Gromov-Witten 잠재함수 $\mathbb{P}^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$ 가 다항식으로 잘리기 위한 필요충분조건은 궤도곡선이 $\mathbb{P}^1_{2,2,r}$ ($r \geq 4$), $\mathbb{P}^1_{2,3,3}$, $\mathbb{P}^1_{2,3,4}$, 또는 $\mathbb{P}^1_{2,3,5}$ 인 경우이며, 이 경우 다항수학적 프로베누스 다양체를 얻는다.
• 조건 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1$ 를 만족하는 삼항다항식 $F(x,y,z) = -xyz + P_1(x) + P_2(y) + P_3(z)$ 의 공간에 정의된 프로베누스 다양체 $M_{p,q,r}$ 는 $QH^*_{\text{orb}}(\mathbb{P}^1_{p,q,r})$ 와 동형이며, 이는 거울 정리를 수립한다.
• $M_{2,2,r}$ 는 확장된 애파인 웨일 군 $\tilde{D}_l$ 과 관련된 프로베누스 다양체 $M(D_{r+2},r)$ 과 동형이며, 단위 벡터, 오일러 벡터, 교차 계량을 일치시켜 확인되었다.
• Seifert fibration $V$ 의 유리 SFT 잠재함수는 $x \in [0, 2\pi \alpha_1\cdots\alpha_a]$ 에서의 궤도 Gromov-Witten 잠재함수에 이동된 매개변수와 위상 인자 $e^{-i c_1(V) x}$ 를 포함한 적분으로 주어진다.
• SFT-ハミルトニ안 $\mathbf{h}^j_V$ 는 휘어진 섹터에 대한 차수 이동 수 $\iota_n = \frac{l}{\alpha_i}$ 를 포함한 푸리에 유형 적분을 통해 Gromov-Witten 유도체 $\mathbf{f}^j_P$ 와 관련된다.
• 이 구성은 렌즈 공간(형 A), 프리즘 다양체(형 D), 파oincaré 구의 이국적 몫(형 E)과 같은 접촉 3차원 다양체에 대해 명시적 SFT-ハミルトニ안을 제공하며, 매끄러운 경우를 확장한다.