[논문 리뷰] Gross-Pitaevskii non-linear dynamics for pseudo-spinor condensates

Alessandro Michelangeli, Alessandro Olgiati|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 01.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 거시적-거시적 근사에서 다체 슈뢰딩거 방정식으로부터 가짜 스핀자성 보스-아인슈타인 응축체의 효과적인 비선형 역학을 엄밀하게 유도한다. 만약 시스템이 에너지 당 입자 수가 고르스-피타에브스키 기능으로 제어되는 완전한 응축 상태에서 시작된다면, 응축은 시간이 지남에 따라 라비 결합 항이 포함된 비선형 슈뢰딩거 방정식의 결합계에 따라 유지되고 진화함을 보여준다.

ABSTRACT

We derive the equations for the non-linear effective dynamics of a so called pseudo-spinor Bose-Einstein condensate, which emerges from the linear many-body Schrödinger equation at the leading order in the number of particles. The considered system is a three-dimensional diluted gas of identical bosons with spin, possibly confined in space, and coupled with an external time-dependent magnetic field; particles also interact among themselves through a short-scale repulsive interaction. The limit of infinitely many particles is monitored in the physically relevant Gross-Pitaevskii scaling. In our main theorem, if at time zero the system is in a phase of complete condensation (at the level of the reduced one-body marginal) and with energy per particle fixed by the Gross-Pitaevskii functional, then such conditions persist also at later times, with the one-body orbital of the condensate evolving according to a system of non-linear cubic Schrödinger equations coupled among themselves through linear (Rabi) terms. The proof relies on an adaptation to the spinor setting of Pickl's projection counting method developed for the scalar case. Quantitative rates of convergence are available, but not made explicit because evidently non-optimal. In order to substantiate the formalism and the assumptions made in the main theorem, in an introductory section we review the mathematical formalisation of modern typical experiments with pseudo-spinor condensates.

연구 동기 및 목표

• 3차원 가짜 스핀자성 보스-아인슈타인 응축체에 대한 효과적인 비선형 역학을 선형 다체 슈뢰딩거 방정식으로부터 엄밀하게 유도하는 것.
• 고르스-피타에브스키 척도 하에서 완전한 응축의 유지와 비선형 슈뢰딩거 방정식의 결합계가 나타나는 것을 확립하는 것.
• 피클의 투영 수세기 방법을 스핀자성 설정으로 확장하여 효과적인 역학으로의 수렴 속도를 제어하는 것.
• 최근 초저온 원자 실험의 맥락에서 고르스-피타에브스키 근사의 물리적 가정을 정당화하는 것.
• 다체 역학에서 효과적인 비선형 진동으로의 수렴 속도를 정량적으로 제공하는 것(비록 최적화되지는 않았지만)

제안 방법

• 피클의 투영 수세기 방법을 다성분 스핀자성 설정으로 적응시켜 다체 상태의 진동을 응축 다각형에 대해 추적하는 것.
• 상호작용 강도가 $ N^{-1} $ 비례하는 고르스-피타에브스키 척도 근사를 사용하여 열역학적 극한에서 효과적인 비선형 역학을 도출하는 것.
• 일반화된 밀도 행렬을 부분적 추적을 통해 정의하여 응축을 정량화하고 매크로스코픽 점유의 유지 여부를 모니터링하는 것.
• 단거리 반발력 상호작용을 갖는 스핀-1/2 보스 입자로 이루어진 희박 기체로 시스템을 모델링하고 시간에 따라 변하는 외부 자기장을 고려하는 것.
• 응축체의 질서 매개변수에 대한 효과적인 역학으로서 선형 라비 결합 항이 포함된 비선형 슈뢰딩거 방정식의 결합계를 도출하는 것.
• 상호작용 포텐셜에 대한 유계와 척도를 활용하여 연산자 노름과 오차 항을 추정하는 것, $ V_N $의 콤팩트 지지성과 척도를 고려함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가짜 스핀자성 응축체에서 관찰되는 효과적인 비선형 역학이 기저의 선형 다체 슈뢰딩거 방정식으로부터 엄밀하게 유도될 수 있는가?
• RQ2 두 하이퍼피니 상태를 갖는 스핀자성 시스템에서 완전한 보스-아인슈타인 응축이 시간이 지나도 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 시간에 따라 변하는 외부 자기장으로 인한 라비 결합의 존재가 응축체의 효과적인 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 고르스-피타에브스키 근사에서 다체 역학에서 효과적인 비선형 슈뢰딩거 시스템으로의 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ5 투영 수세기 방법은 내부 자유도를 갖는 다성분 시스템으로 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 에너지 당 입자 수가 고르스-피타에브스키 기능으로 제어되는 완전한 응축 상태에서 시작된 시스템은 모든 시간 동안 완전한 응축 상태를 유지한다.
• 응축체 질서 매개변수의 진동은 라비 결합 항이 포함된 비선형 슈뢰딩거 방정식의 결합계에 따라 일어난다.
• 다체 역학에서 효과적인 비선형 역학으로의 수렴 속도는 $ C(t)N^{-\beta/2 + 3\xi} $ 으로 유계지어지며, $ \xi $ 는 작고 $ \beta = 1 $ 이지만, 이 속도는 최적화되어 있지 않다.
• 오차 추정은 연산자 노름 유계와 $ V_N $의 구조를 활용하여 도출되었으며, $ V_N $ 의 $ L^2 $-노름은 $ N^{-3/2} $ 비례로 척도화된다.
• 핵심 기술적 보조정리는 부드러운 코어 포텐셜 극한($ \beta < 1 $)을 물리적 고르스-피타에브스키 경우($ \beta = 1 $)로 연결하여 주요 결과를 도출하는 데 기여한다.
• 증명은 다체 상태의 기울기 노름의 유계성과 투영 수세기 방법을 통한 일차 일반화 밀도 행렬의 제어에 의존한다.